Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas formas diferentes: uma para pontos onde
e outra quando
. Nosso objetivo é descobrir onde essa função é diferenciável. Pra isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade em funções de duas variáveis e verificar os pontos onde a função atende esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável num ponto. Em termos simples, uma função
é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto e se puder ser bem aproximada por um plano tangente ali. Ou seja, a função deve se comportar “suavemente” naquele ponto, sem quebras ou “picos”.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa função
. Ela é definida por:
Para pontos onde
, a função é uma fração de polinômios, que são funções suaves e diferenciáveis em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, nesses pontos, a função é diferenciável.
Passo 4
O ponto crítico aqui é
. Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Primeiro, vamos verificar a continuidade em
. Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
.
Vamos converter para coordenadas polares, onde
e
. Assim, temos:
Quando
tende a 0,
também tende a 0. Então, o limite de
quando
é 0, que é igual ao valor de
. Portanto, a função é contínua em
.
Passo 5
Mesmo sendo contínua, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas em
. Calculamos as derivadas parciais de
em
.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a 0 em
.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se a função pode ser bem aproximada por seu plano tangente no ponto
. Isso significa que:
Substituindo os valores que já sabemos:
Esse limite é 0, o que confirma que a função é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos do plano, incluindo o ponto
.