Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f(x, y) = (xy^3) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0); 0 se (x, y) = (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes: uma para pontos onde e outra quando . Nosso objetivo é descobrir onde essa função é diferenciável. Pra isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade em funções de duas variáveis e verificar os pontos onde a função atende esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável num ponto. Em termos simples, uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto e se puder ser bem aproximada por um plano tangente ali. Ou seja, a função deve se comportar “suavemente” naquele ponto, sem quebras ou “picos”.

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa função . Ela é definida por:
Para pontos onde , a função é uma fração de polinômios, que são funções suaves e diferenciáveis em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, nesses pontos, a função é diferenciável.

Passo 4

O ponto crítico aqui é . Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Primeiro, vamos verificar a continuidade em . Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de .
Vamos converter para coordenadas polares, onde e . Assim, temos:
Quando tende a 0, também tende a 0. Então, o limite de quando é 0, que é igual ao valor de . Portanto, a função é contínua em .

Passo 5

Mesmo sendo contínua, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas em . Calculamos as derivadas parciais de em .
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a 0 em .

Passo 6

Agora, precisamos verificar se a função pode ser bem aproximada por seu plano tangente no ponto . Isso significa que:
Substituindo os valores que já sabemos:
Esse limite é 0, o que confirma que a função é diferenciável em .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do plano, incluindo o ponto .

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