Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 9 e pelos planos z = 2 e z = 4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x^2 + y^2) kg/m^3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o momento de inércia em relação ao eixo de um sólido que é delimitado por um cilindro de equação e pelos planos e . Além disso, a densidade de massa do sólido é dada por kg/m³.
Conteúdo da matéria envolvido: Cálculo de momento de inércia para corpos com densidade variável utilizando coordenadas cilindricas.
O que vamos precisar para resolver: Fórmula do momento de inércia, transformação para coordenadas cilíndricas, e integração tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do momento de inércia em relação ao eixo . A fórmula geral é:
Aqui, é a densidade de massa no ponto , e é o elemento de volume.
No nosso caso, , então substituindo na fórmula:

Passo 3

Como o sólido tem simetria cilíndrica ( ), é mais fácil resolver a integral usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Além disso, .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, vem de .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integração em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo do sólido é kg·m².

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