Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo
do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
, sabendo que a densidade de massa é igual a
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o momento de inércia em relação ao eixo
de um sólido que é delimitado por um cilindro de equação
e pelos planos
e
. Além disso, a densidade de massa do sólido é dada por
kg/m³.
Conteúdo da matéria envolvido: Cálculo de momento de inércia para corpos com densidade variável utilizando coordenadas cilindricas.
O que vamos precisar para resolver: Fórmula do momento de inércia, transformação para coordenadas cilíndricas, e integração tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do momento de inércia em relação ao eixo
. A fórmula geral é:
Aqui,
é a densidade de massa no ponto
, e
é o elemento de volume.
No nosso caso,
, então substituindo na fórmula:
Passo 3
Como o sólido tem simetria cilíndrica (
), é mais fácil resolver a integral usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Além disso,
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
vem de
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integração em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
do sólido é
kg·m².