Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivar a função e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos e :
Aqui, é a derivada da função em relação a .
Passo 3
Agora, vamos derivar a nossa função . Usamos a regra da cadeia para isso:
Simplificando:
Passo 4
Substituindo a derivada na fórmula do comprimento de arco, temos:
Passo 5
Sabemos que , então podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Com isso, a integral fica mais simples:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou, equivalentemente, .