Calcule o comprimento da curva y = 2 ln(sen(x/2)), pi/3 <= x <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por no intervalo de . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivar a função e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos e :
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos derivar a nossa função . Usamos a regra da cadeia para isso:
Simplificando:

Passo 4

Substituindo a derivada na fórmula do comprimento de arco, temos:

Passo 5

Sabemos que , então podemos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 6

Com isso, a integral fica mais simples:

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou, equivalentemente, .

Passo 8

Substituindo na integral:
Isso fica:

Passo 9

A integral de é conhecida:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Aplicando os limites de integração:
Calculando para cada limite:
  • Para :
  • Para :

Resposta

Substituindo na expressão do comprimento:
Mas podemos simplificar isso sabendo que:
Portanto, o comprimento da curva é:

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