Calcule a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da superfície que a curva
gera ao girar em torno do eixo
, no intervalo de
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente a fórmula para a área de superfície de revolução. Vamos precisar calcular a derivada da função e integrar uma expressão envolvendo essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender como a função muda à medida que
varia.
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Isso faz parte da fórmula para a área da superfície de revolução.
Vamos expandir o quadrado:
Então,
Passo 4
A fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo
é:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar os cálculos:
Então, a integral fica:
Vamos expandir os termos:
Simplificando:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Agora, avaliamos cada expressão de
a
:
Agora, somamos todos os resultados:
Então, a área da superfície é:
Resposta
A área da superfície é aproximadamente
unidades quadradas.