Calcule a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x :
y=x^36+12 x, com 12 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da superfície que a curva y = x^36 + 12x gera ao girar em torno do eixo x , no intervalo de 12 <= x <= 1 . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente a fórmula para a área de superfície de revolução. Vamos precisar calcular a derivada da função e integrar uma expressão envolvendo essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y em relação a x . A derivada nos ajuda a entender como a função muda à medida que x varia.
y = x^36 + 12x
Derivando termo a termo:
dydx = ddx(x^36) + ddx(12x) = 3x^26 - 12x^2 = x^22 - 12x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular 1 + (dydx)^2 . Isso faz parte da fórmula para a área da superfície de revolução.
1 + (dydx)^2 = 1 + (x^22 - 12x^2)^2
Vamos expandir o quadrado:
(x^22 - 12x^2)^2 = (x^22)^2 - 2 cdot x^22 cdot 12x^2 + (12x^2)^2 = x^44 - 12 + 14x^4
Então,
1 + (dydx)^2 = 1 + x^44 - 12 + 14x^4 = x^44 + 14x^4 + 12

Passo 4

A fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo x é:
S = 2pi integrala^b y raiz1 + (dydx)^2 , dx
Substituindo os valores que já temos:
S = 2pi integral12^1 ( x^36 + 12x ) raiz x^44 + 14x^4 + 12 , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar os cálculos:
raiz x^44 + 14x^4 + 12 = raiz x^4 + 1x^4 + 24 = raiz x^4 + 1x^4 + 2 2 = raiz (x^2 + 1x^2)^2 2 = x^2 + 1x^2 2
Então, a integral fica:
S = 2pi integral12^1 ( x^36 + 12x ) cdot x^2 + 1x^2 2 , dx = pi integral12^1 ( x^36 + 12x ) ( x^2 + 1x^2 ) , dx
Vamos expandir os termos:
( x^36 + 12x ) ( x^2 + 1x^2 ) = x^56 + x^36x^2 + x^22x + 12x cdot x^2 = x^56 + x6 + x2 + 12x^3
Simplificando:
x^56 + x6 + 3x6 + 12x^3 = x^56 + 4x6 + 12x^3 = x^56 + 2x3 + 12x^3
Agora, integramos termo a termo:
S = pi [ integral12^1 x^56 , dx + integral12^1 2x3 , dx + integral12^1 12x^3 , dx ]
Calculando cada integral:
  1. integral x^56 , dx = x^636
  2. integral 2x3 , dx = 2x^26 = x^23
  3. integral 12x^3 , dx = 12 cdot ( -12x^2 ) = -14x^2
Agora, avaliamos cada expressão de 12 a 1 :
  1. [ x^636 ]12^1 = 136 - (12)^6 36 = 136 - 12304 = 642304 - 12304 = 632304
  2. [ x^23 ]12^1 = 13 - (12)^2 3 = 13 - 112 = 412 - 112 = 312 = 14
  3. [ -14x^2 ]12^1 = -14(1)^2 - ( -14 (12)^2 ) = -14 + 11 = 34
Agora, somamos todos os resultados:
632304 + 14 + 34 = 632304 + 1 = 632304 + 23042304 = 23672304
Então, a área da superfície é:
S = pi cdot 23672304 approx pi cdot 1.028

Resposta

A área da superfície é aproximadamente S approx 3,23 unidades quadradas.

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