Seja H o hemisfério x^2+y^2+z^2=50, z >= 0, e suponha que f seja uma função contínua com f(3,4,5)=7, f(3,-4,5)=8, f(3,4,5)-9 e f(-3,-4,5)=12. Dividindo H em quatro retalhos, estime o valor de integral duplah f(x, y, z) d S.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a integral de superfície
integral duplaHf(x,y,z),dS
onde H é o hemisfério x^2+y^2+z^2=50, z>=0. Dividimos H em quatro retalhos correspondendo aos quatro quadrantes do plano xy, e usamos em cada retalho o valor de f num ponto de amostragem:
– Quadrante I ( x>0,y>0): f(3,4,5)=7
– Quadrante II ( x<0,y>0): f(-3,4,5)=9
– Quadrante III ( x<0,y<0): f(-3,-4,5)=12
– Quadrante IV ( x>0,y<0): f(3,-4,5)=8.

Passo 2

Primeiro, o raio da esfera é
r = raiz50
A área de todo o hemisfério é
Area(H)=2pi r^2=2picdot50=100pi

Passo 3

Como dividimos o hemisfério em quatro retalhos de mesma área, cada um tem área
Aretalho=100pi4=25pi

Passo 4

A estimativa da integral de superfície pelo “soma de Riemann” em 4 pontos fica
integral duplaHf,dS approx sumi=1^4 fi,Aretalho =(7+9+12+8)cdot25pi

Passo 5

Somando os valores de f:
7+9+12+8=36,
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integral duplaHf(x,y,z),dSapprox36cdot25pi=900pi

Resposta

900pi

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