Calcule a integral de superfície.
\iint_{S} y d S), S é a superfície z=23(x^3 / 2+y^32), 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
integral duplaSy,dS,
onde S é o gráfico da função
z = f(x,y) = 23l(x^3/2+y^3/2r), 0<= x<=1,;0<= y<=1
O conteúdo usado será a fórmula
dS = raiz1 + l(fxr)^2 + l(fyr)^2,dx,dy
para passar a integral de superfície numa integral dupla em x,y.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx = 23cdot32,x^1/2 = x^1/2, fy = 23cdot32,y^1/2 = y^1/2
Logo
1 + (fx)^2 + (fy)^2 = 1 + x + y,
e
dS = raiz1 + x + y;dx,dy

Passo 3

Substituindo em integral duplaS y,dS obtemos a integral dupla
I = integraly=0^1!integralx=0^1 y,raiz1 + x + y;dx,dy

Passo 4

Para cada y fixo, calculemos a integral em x:
integral0^1y,raiz1 + x + y;dx = yintegralu=1+y^2+yraizu;du = y[23u^3/2]1+y^2+y =2y3l((2+y)^3/2 - (1+y)^3/2r)
Assim
I = 23integral0^1yl((2+y)^3/2 - (1+y)^3/2r)dy

Passo 5

Separemos em duas integrais
I = 23l(A - Br),
com
A = integral0^1y,(2+y)^3/2dy, B = integral0^1y,(1+y)^3/2dy
Faremos mudança de variável em cada uma:
Para A, seja t=2+y, então
A = integralt=2^3(t-2),t^3/2dt = integral2^3l(t^5/2-2t^3/2r)dt
Para B, seja s=1+y, então
B = integrals=1^2(s-1),s^3/2ds = integral1^2l(s^5/2-s^3/2r)ds

Passo 6

Calculemos A e B em forma simplificada:
A = [27t^7/2-45t^5/2]2^3 = 18raiz3+32raiz235,
B = [27s^7/2-25s^5/2]1^2 = 24raiz2+435
Logo
A - B = 18raiz3+8raiz2-435

Passo 7

Voltando a I:
I = 23cdotA - B1 = 23cdot18raiz3+8raiz2-435 = 36raiz3 + 16raiz2 - 8105

Resposta

integral duplaSy,dS = 36raiz3 + 16raiz2 - 8105

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