A equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função harmônica
satisfaz a equação de Laplace
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
.
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas em relação a
:
Passo 3
Agora as derivadas em relação a
:
Passo 4
Somando as derivadas de segunda ordem:
Como o resultado é zero, a equação de Laplace fica satisfeita.
Resposta
A função
é solução da equação de Laplace.