A equação diferencial parcial ux x+uy y=0 é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace: u=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função harmônica u(x,y)=x^2-y^2 satisfaz a equação de Laplace
uxx+uyy=0
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a x e y.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas em relação a x:
ux=partialpartial x(x^2-y^2)=2x,
uxx=partialpartial x(2x)=2

Passo 3

Agora as derivadas em relação a y:
uy=partialpartial y(x^2-y^2)=-2y,
uyy=partialpartial y(-2y)=-2

Passo 4

Somando as derivadas de segunda ordem:
uxx+uyy=2+(-2)=0
Como o resultado é zero, a equação de Laplace fica satisfeita.

Resposta

A função u(x,y)=x^2-y^2 é solução da equação de Laplace.

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