Calcule a integral utilizando frações parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral complicada:
O objetivo é resolver essa integral usando frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa expressão complicada em partes mais simples que a gente já sabe como integrar. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre como decompor frações racionais em frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos no denominador:
Aqui, temos dois fatores:
e
. O método de frações parciais funciona bem quando o denominador é fatorado em polinômios de grau menor ou igual ao numerador. No nosso caso, o numerador é 1, que tem grau 0, então estamos bons para começar.
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Considerando a multiplicidade dos fatores, a decomposição fica assim:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito para encontrar os valores das constantes.
Passo 5
Expandindo cada termo:
Juntando tudo:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
-
: -
: -
: -
: - Termo constante:
Passo 7
Resolvendo as equações:
- De
, temos - De
, com , temos - De
- De
, com , temos - De
, substituindo e :
Passo 8
Com todas as constantes encontradas, a decomposição fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-
-
Para esse, fazemos uma substituição
, então , ou seja, . Então: -
Para esse, fazemos a substituição
, então , ou seja, . Então:
Passo 10
Juntando todas as integrações e os constantes de integração (que podemos resumir em uma única constante
):
Resposta
A integral resolve-se por frações parciais como: