Calcule a integral utilizando frações parciais
integral d xx(x^2+4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral complicada:
integral dxx(x^2+4)^2
O objetivo é resolver essa integral usando frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa expressão complicada em partes mais simples que a gente já sabe como integrar. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre como decompor frações racionais em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos no denominador:
x(x^2+4)^2
Aqui, temos dois fatores: x e (x^2+4)^2. O método de frações parciais funciona bem quando o denominador é fatorado em polinômios de grau menor ou igual ao numerador. No nosso caso, o numerador é 1, que tem grau 0, então estamos bons para começar.

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Considerando a multiplicidade dos fatores, a decomposição fica assim:
1x(x^2+4)^2 = Ax + Bx + Cx^2+4 + Dx + E(x^2+4)^2
Aqui, A, B, C, D e E são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x^2+4)^2 para eliminar os denominadores:
1 = A(x^2+4)^2 + (Bx + C)x(x^2+4) + (Dx + E)x
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito para encontrar os valores das constantes.

Passo 5

Expandindo cada termo:
  1. A(x^2+4)^2 = A(x^4 + 8x^2 + 16)
  2. (Bx + C)x(x^2+4) = (Bx + C)(x^3 + 4x) = Bx^4 + 4Bx^2 + Cx^3 + 4Cx
  3. (Dx + E)x = Dx^2 + Ex
Juntando tudo:
1 = (A + B)x^4 + Cx^3 + (8A + 4B + D)x^2 + (4C + E)x + 16A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. x^4: A + B = 0
  2. x^3: C = 0
  3. x^2: 8A + 4B + D = 0
  4. x: 4C + E = 0
  5. Termo constante: 16A = 1

Passo 7

Resolvendo as equações:
  1. De 16A = 1, temos A = 116
  2. De A + B = 0, com A = 116, temos B = -116
  3. De C = 0
  4. De 4C + E = 0, com C = 0, temos E = 0
  5. De 8A + 4B + D = 0, substituindo A e B: 8(116) + 4(-116) + D = 816 - 416 + D = 416 + D = 14 + D = 0 Rightarrow D = -14

Passo 8

Com todas as constantes encontradas, a decomposição fica:
1x(x^2+4)^2 = 116x - 116cdotxx^2+4 - 14cdotx(x^2+4)^2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 116x dx = 116 ln|x| + C1
  2. integral -116cdotxx^2+4 dx
    Para esse, fazemos uma substituição u = x^2 + 4, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2. Então:
    -116 cdot 12 integral duu = -132 ln|u| + C2 = -132 ln(x^2+4) + C2
  3. integral -14cdotx(x^2+4)^2 dx
    Para esse, fazemos a substituição u = x^2 + 4, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2. Então:
    -14 cdot 12 integral duu^2 = -18 cdot (-1u) + C3 = 18(x^2+4) + C3

Passo 10

Juntando todas as integrações e os constantes de integração (que podemos resumir em uma única constante C):
integral dxx(x^2+4)^2 = 116 ln|x| - 132 ln(x^2+4) + 18(x^2+4) + C

Resposta

A integral resolve-se por frações parciais como:
integral dxx(x^2+4)^2 = 116 ln|x| - 132 ln(x^2+4) + 18(x^2+4) + C

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