Calcule a área da superfície no primeiro octante, delimitada no cilindro x^2+z^2=9 pelo plano y=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área da superfície do cilindro definido por x^2 + z^2 = 9 no primeiro octante (onde x , y e z são positivos) e que é delimitada pelo plano y = x . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a forma do cilindro. A equação x^2 + z^2 = 9 representa um cilindro circular reto com raio 3, estendendo-se indefinidamente ao longo do eixo y . No primeiro octante, vamos considerar apenas as partes onde x >= 0 , y >= 0 e z >= 0 .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o cilindro para facilitar o cálculo da área. Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = 3 cos theta z = 3 sin theta
Aqui, theta varia de 0 a pi2 para cobrir o primeiro octante. A coordenada y vai variar de 0 até onde o plano y = x intercepta o cilindro.

Passo 4

Precisamos encontrar os limites de integração para y . Como o plano é y = x e x = 3 cos theta , então y varia de 0 a 3 cos theta . Assim, temos:
0 <= y <= 3 cos theta

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da área para uma superfície parametrizada. A área A é dada por:
A = integraltheta=0^pi2 integraly=0^3 cos theta | partial rpartial theta times partial rpartial y | dy , dtheta
Onde r(theta, y) = (3 cos theta, y, 3 sin theta) .

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial rpartial theta = (-3 sin theta, 0, 3 cos theta) partial rpartial y = (0, 1, 0)
Agora, o produto vetorial:
partial rpartial theta times partial rpartial y = i & j & k -3 sin theta & 0 & 3 cos theta 0 & 1 & 0 = (-3 cos theta) i + 0 j + (-3 sin theta) k
O módulo desse vetor é:
| partial rpartial theta times partial rpartial y | = raiz(-3 cos theta)^2 + (-3 sin theta)^2 = raiz9 cos^2 theta + 9 sin^2 theta = raiz9 (cos^2 theta + sin^2 theta) = raiz9 = 3

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:
A = integral0^pi2 integral0^3 cos theta 3 , dy , dtheta
Vamos primeiro integrar em relação a y :
integral0^3 cos theta 3 , dy = 3y |0^3 cos theta = 3 times 3 cos theta = 9 cos theta
Agora, a integral fica:
A = integral0^pi2 9 cos theta , dtheta = 9 integral0^pi2 cos theta , dtheta

Passo 8

Calculando a última integral:
integral0^pi2 cos theta , dtheta = sin theta |0^pi2 = sin ( pi2 ) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Então,
A = 9 times 1 = 9

Resposta

A área da superfície é 9 unidades quadradas.

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