Calcule a área da superfície no primeiro octante, delimitada no cilindro pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área da superfície do cilindro definido por no primeiro octante (onde , e são positivos) e que é delimitada pelo plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a forma do cilindro. A equação representa um cilindro circular reto com raio 3, estendendo-se indefinidamente ao longo do eixo . No primeiro octante, vamos considerar apenas as partes onde , e .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o cilindro para facilitar o cálculo da área. Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui, varia de 0 a para cobrir o primeiro octante. A coordenada vai variar de 0 até onde o plano intercepta o cilindro.
Passo 4
Precisamos encontrar os limites de integração para . Como o plano é e , então varia de 0 a . Assim, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da área para uma superfície parametrizada. A área é dada por:
Onde r(theta, y) = (3 cos theta, y, 3 sin theta) .
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial rpartial theta = (-3 sin theta, 0, 3 cos theta) partial rpartial y = (0, 1, 0)
Agora, o produto vetorial:
partial rpartial theta times partial rpartial y = i & j & k -3 sin theta & 0 & 3 cos theta 0 & 1 & 0 = (-3 cos theta) i + 0 j + (-3 sin theta) k
O módulo desse vetor é:
| partial rpartial theta times partial rpartial y | = raiz(-3 cos theta)^2 + (-3 sin theta)^2 = raiz9 cos^2 theta + 9 sin^2 theta = raiz9 (cos^2 theta + sin^2 theta) = raiz9 = 3
Passo 7
Substituindo na fórmula da área:
A = integral0^pi2 integral0^3 cos theta 3 , dy , dtheta
Vamos primeiro integrar em relação a y :
integral0^3 cos theta 3 , dy = 3y |0^3 cos theta = 3 times 3 cos theta = 9 cos theta
Agora, a integral fica:
A = integral0^pi2 9 cos theta , dtheta = 9 integral0^pi2 cos theta , dtheta
Passo 8
Calculando a última integral:
integral0^pi2 cos theta , dtheta = sin theta |0^pi2 = sin ( pi2 ) - sin(0) = 1 - 0 = 1