Calcule a integral de superfície.
a) integral duplasigma x^2 y z d S, onde sigma é a parte do plano z=1+2 x+3 y que está acima do retângulo [0,3] times[0,2].
b) integral duplasigma y z d S, onde sigma é a parte do plano z+y+x=1 que está no primeiro octante.
c) integral duplasigma y z d S, onde sigma é a superfície de equações paramétricas x=u^2, y=u sen(v), z=u cos (v), 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= pi2.
d) integral duplasigma x^2 z^2 d S, onde sigma é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3.
e) integral duplasigma(x^2 z+y^2 z) d S, onde sigma é o hemisfério x^2+y^2+z^2=4, z >= 0.
f) integral duplasigma(z+x^2 y) d S, onde sigma é a parte do cilindro z^2+y^2=1 que está entre os planos x=0 e x=3 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais de superfície do tipo
integral duplasigma f(x,y,z),dS
em superfícies definidas por planos, cones, esferas e cilindros. Para cada item vamos usar a representação adequada de sigma (gráfica ou paramétrica), obter o elemento de área dS e avaliar a integral sobre a região de parametrização ou projeção.

Passo 2

Item (a): sigma é o gráfico z=1+2x+3y sobre o retângulo 0<= x<=3, 0<= y<=2.
Nesse caso
dS = raiz1+zx^2+zy^2,dx,dy
com zx=2, zy=3, logo dS=raiz1+4+9,dx,dy=raiz14,dx,dy. A integral fica
integral duplasigma x^2y,dS =raiz14integral0^3!!integral0^2x^2y,l(1+2x+3yr),dy,dx
Expandindo e integrando em y e depois em x, obtemos
integral0^3integral0^2x^2y(1+2x+3y),dy,dx =177,
portanto a resposta é
boxed177raiz14

Passo 3

Item (b): sigma é o trecho do plano x+y+z=1 no primeiro octante. Projetando no plano xy temos z=1-x-y, região x>=0,y>=0,x+y<=1.
Aqui zx=-1, zy=-1, então
dS = raiz1+1+1,dx,dy=raiz3,dx,dy
e a integral vira
raiz3integral duplax+y<=1y(1-x-y),dx,dy
Usando coordenadas cartesianas e integrando, chega-se a
raiz3cdot124 =boxedraiz324

Passo 4

Item (c): parametrização
x=u^2, y=usin v, z=ucos v, 0<= u<=1,;0<= v<=pi2
Calcula-se llvert rutimes rvrrvert=uraiz1+4u^2. O integrando é y,z =u^2sin vcos v. Logo a integral é
integral0^1!!integral0^pi/2u^2sin vcos v;l(uraiz1+4u^2r),dv,du =12integral0^1u^3raiz1+4u^2,du
Fazendo a substituição adequada e avaliando, obtemos
boxed5raiz548+1240

Passo 5

Item (d): cone z^2=x^2+y^2, z>=0, entre z=1 e z=3. Em coordenadas cilíndricas rin[1,3], thetain[0,2pi], temos z=r e
dS=raiz2,r,dr,dtheta,
o integrando é x^2z^2=(rcostheta)^2r^2=r^4cos^2theta. Assim
integral duplasigmax^2z^2,dS =raiz2integral0^2picos^2theta,dtheta integral1^3r^5,dr =364piraiz23

Passo 6

Item (e): hemisfério x^2+y^2+z^2=4, z>=0. Em esféricas r=2, phiin[0,pi/2], thetain[0,2pi], vale
dS=r^2sinphi,dphi,dtheta=4sinphi,dphi,dtheta,
e x^2z+y^2z=z(x^2+y^2)=8sin^2phicosphi. Logo
integral duplasigma(x^2z+y^2z),dS =32integral0^2pidthetaintegral0^pi/2sin^3phicosphi,dphi =16pi

Passo 7

Item (f): cilindro y^2+z^2=1 entre x=0 e x=3 no primeiro octante. Parametrizamos por
r(u,v)=(u,cos v,sin v), uin[0,3],;vin[0,pi/2],
com lvert rutimes rvrvert=1. O integrando é z+x^2y=sin v+u^2cos v. Então
integral0^3!!integral0^pi/2(sin v+u^2cos v),dv,du =integral0^3(1+u^2),du =12

Resposta

a) 177raiz14
b) raiz324
c) 5raiz548+1240
d) 364piraiz23
e) 16pi
f) 12

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