Calcule a integral de superfície.
a) , onde é a parte do plano que está acima do retângulo .
b) , onde é a parte do plano que está no primeiro octante.
c) , onde é a superfície de equações paramétricas , e .
d) , onde é a parte do cone que está entre os planos e .
e) , onde é o hemisfério .
f) , onde é a parte do cilindro que está entre os planos e no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais de superfície do tipo
em superfícies definidas por planos, cones, esferas e cilindros. Para cada item vamos usar a representação adequada de (gráfica ou paramétrica), obter o elemento de área e avaliar a integral sobre a região de parametrização ou projeção.
Passo 2
Item (a): é o gráfico sobre o retângulo , .
Nesse caso
com , , logo . A integral fica
Expandindo e integrando em e depois em , obtemos
portanto a resposta é
Passo 3
Item (b): é o trecho do plano no primeiro octante. Projetando no plano temos , região .
Aqui , , então
e a integral vira
Usando coordenadas cartesianas e integrando, chega-se a
Passo 4
Item (c): parametrização
Calcula-se llvert rutimes rvrrvert=uraiz1+4u^2. O integrando é y,z =u^2sin vcos v. Logo a integral é