Sejam
dois conjuntos. Considere
e
. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado dá dois pares de conjuntos com inclusões
e pede para mostrar
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, em especial as definições de subconjunto e interseção. Para provar a inclusão entre conjuntos, vamos usar o método de elemento genérico: pegar um elemento arbitrário de
e mostrar que ele pertence a
.
Passo 2
Relembre as definições:
-
significa que, para todo , se então . -
significa que, para todo , se então . -
significa que e . -
significa que e .
Passo 3
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pela definição de interseção, isso implica
Passo 4
Como
e
, segue que
.
Como e
, segue que
.
Portanto
Como
Portanto
Mostramos que um elemento genérico de
está em
.