Sejam A, B dois conjuntos. Considere A subseteq B e C subseteq D. Mostre que:
A cap C subseteq B cap D.

Passo 1

O enunciado dá dois pares de conjuntos com inclusões
A subseteq B e C subseteq D
e pede para mostrar
Acap C subseteq Bcap D
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, em especial as definições de subconjunto e interseção. Para provar a inclusão entre conjuntos, vamos usar o método de elemento genérico: pegar um elemento arbitrário de Acap C e mostrar que ele pertence a Bcap D.

Passo 2

Relembre as definições:
  1. Asubseteq B significa que, para todo x, se xin A então xin B.
  2. Csubseteq D significa que, para todo x, se xin C então xin D.
  3. xin Acap C significa que xin A e xin C.
  4. xin Bcap D significa que xin B e xin D.

Passo 3

Seja x um elemento arbitrário tal que
x in Acap C
Pela definição de interseção, isso implica
xin A e xin C

Passo 4

Como Asubseteq B e xin A, segue que xin B.
Como Csubseteq D e xin C, segue que xin D.
Portanto
xin B e xin D Longrightarrow xin Bcap D
Mostramos que um elemento genérico de Acap C está em Bcap D.

Resposta

Acap C subseteq Bcap D

Exercícios relacionados