Determine as derivadas
\frac{d}{d x} \tan x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \tan x. Vamos usar conteúdos de derivadas de funções trigonométricas e a regra do quociente para chegar ao resultado.

Passo 2

Escrevemos
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
para poder aplicar a regra do quociente.

Passo 3

Pela regra do quociente, se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui u(x)=\sin x e v(x)=\cos x, logo u'(x)=\cos x e v'(x)=-\sin x. Substituindo,
\frac{d}{dx}\tan x =\frac{\cos x\cdot\cos x \;-\;\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}.

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica \sin^2 x+\cos^2 x=1, obtemos
\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x} =\operatorname{sec}^2 x.

Resposta

\frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x.

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