Verifique que o campo vetorial \mathbf{f}(t)=\sin x \mathbf{i}-2 y z \mathbf{j}-y^{2} \mathbf{k} é um campo conservativo de \mathbf{R}^{3}. Calcule a integral \int \mathbf{f} \cdot d \mathbf{r} ao longo de qualquer caminho entre ( 0,2,0 ) e ( 2,2,4 ) e compare com o resultado obtido através da avaliação da função potencial.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o campo
\mathbf{f}(x,y,z)=\sin x\,\mathbf{i}-2yz\,\mathbf{j}-y^{2}\,\mathbf{k}
é conservativo em \mathbb{R}^{3}, depois achar sua função potencial \varphi e, por fim, calcular \displaystyle \int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_1}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}
entre \mathbf{r}_0=(0,2,0) e \mathbf{r}_1=(2,2,4), comparando com \varphi(\mathbf{r}_1)-\varphi(\mathbf{r}_0).

Passo 2

Para checar que \mathbf{f} é conservativo basta ver que \nabla\times\mathbf{f}=\mathbf{0}. Escrevendo
P=\sin x,\quad Q=-2yz,\quad R=-y^2,
temos
(\nabla\times\mathbf{f})_1=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =-2y-(-2y)=0,
(\nabla\times\mathbf{f})_2=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{f})_3=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0-0=0.
Logo \nabla\times\mathbf{f}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3, então \mathbf{f} é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y,z) tal que \phi_x=P=\sin x. Integramos em x:
\varphi(x,y,z)=-\cos x+g(y,z).
Então \phi_y=g_y deve igualar Q=-2yz, ou seja,
g_y=-2yz\implies g(y,z)=-y^2z+h(z).
Finalmente \phi_z=(g_z+h')=-y^2+h'(z) deve ser R=-y^2, de onde h'(z)=0.
Podemos tomar h(z)=0. Portanto
\varphi(x,y,z)=-\cos x - y^2z + C.
Escolhendo C=0, fica \varphi(x,y,z)=-\cos x - y^2z.

Passo 4

Vamos calcular a integral direto por um caminho qualquer, por exemplo em dois trechos:
1. De (0,2,0) a (2,2,0) com r_1(t)=(t,2,0), t\in[0,2]. Então
d\mathbf{r}_1=(1,0,0)\,dt,\quad \mathbf{f}(r_1)=(\sin t,0,-4).
Logo
\int_{r_1}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2}\sin t\,dt =[-\cos t]_{0}^{2} =-\cos2+1.
2. De (2,2,0) a (2,2,4) com r_2(s)=(2,2,s), s\in[0,4]. Então
d\mathbf{r}_2=(0,0,1)\,ds,\quad \mathbf{f}(r_2)=(\sin2,-4s,-4).
Logo
\int_{r_2}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{4}(-4)\,ds =-16.
Somando os dois trechos,
\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_1}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r} =(-\cos2+1)+(-16) =-15-\cos2.

Passo 5

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_1}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r} =\varphi(\mathbf{r}_1)-\varphi(\mathbf{r}_0).
Calculando \varphi(2,2,4)=-\cos2 - (2)^2\cdot4=-\cos2-16
e \varphi(0,2,0)=-\cos0 - (2)^2\cdot0=-1,
temos
\varphi(2,2,4)-\varphi(0,2,0) =\bigl(-\cos2-16\bigr)-(-1) =-15-\cos2,
exatamente o mesmo resultado da integração direta.

Resposta

\displaystyle \int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_1}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=-15-\cos2,
e a função potencial escolhida foi \displaystyle \varphi(x,y,z)=-\cos x - y^2z.

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