Verifique que o campo vetorial
é um campo conservativo de
. Calcule a integral
ao longo de qualquer caminho entre (
) e (
) e compare com o resultado obtido através da avaliação da função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o campo
é conservativo em
, depois achar sua função potencial
e, por fim, calcular
entre e
, comparando com
.
entre
Passo 2
Para checar que
é conservativo basta ver que
. Escrevendo
temos
Logo
em
, então
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos em
:
Então
deve igualar
, ou seja,
Finalmente
deve ser
, de onde
.
Podemos tomar . Portanto
Podemos tomar
Escolhendo
, fica
.
Passo 4
Vamos calcular a integral direto por um caminho qualquer, por exemplo em dois trechos:
. De
a
com
,
. Então
Logo
Logo
Somando os dois trechos,
Passo 5
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Calculando
e ,
temos
e
temos
exatamente o mesmo resultado da integração direta.
Resposta
e a função potencial escolhida foi