Mostre ou justifique que a divergência é um operador linear, ou seja,
 
onde 
  são campos vetoriais e 
  e 
  são constantes reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a divergência é um operador linear. Isso significa que, se tivermos dois campos vetoriais 
  e 
 , e duas constantes reais 
  e 
 , a divergência da combinação linear desses campos (
 ) é igual à combinação linear das divergências individuais. Vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente as propriedades da divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial 
  é dada por:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos considerar a combinação linear dos campos vetoriais: 
 . Se 
  e 
 , então:
Passo 4
Vamos calcular a divergência dessa combinação linear:
Passo 5
Usando a propriedade da derivada que permite distribuir as constantes, temos:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos com 
  e os com 
 :
Passo 7
Perceba que os termos dentro dos parênteses são exatamente as divergências dos campos 
  e 
 :
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso comprova que a divergência é, de fato, um operador linear.