Calcule a área das superfícies pedidas.
S é a superfície parametrizada por sigma(u, v)=(cos u, v, sin u), onde u^2+4 v^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma superfície S que está definida por uma parametrização. O conteúdo envolve cálculo de áreas de superfícies usando parametrizações e integrais duplas. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais, produto vetorial e integração em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície S . Ela está dada por:
sigma(u, v) = (cos u, v, sin u)
E a condição u^2 + 4v^2 <= 1 define a região sobre a qual vamos calcular a área. Essa condição representa uma elipse no plano uv .

Passo 3

Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da integral dupla que envolve o módulo do produto vetorial das derivadas parciais da parametrização. A fórmula é:
Área = integral duplaD | partial sigmapartial u times partial sigmapartial v | , du , dv Á
Onde D é a região definida por u^2 + 4v^2 <= 1 .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas parciais de sigma em relação a u e v :
Primeira derivada parcial em relação a u :
partial sigmapartial u = (-sin u, 0, cos u)
Segunda derivada parcial em relação a v :
partial sigmapartial v = (0, 1, 0)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
partial sigmapartial u times partial sigmapartial v = i & j & k -sin u & 0 & cos u 0 & 1 & 0
Resolvendo o determinante:
= i(0 cdot 0 - cos u cdot 1) - j(-sin u cdot 0 - cos u cdot 0) + k(-sin u cdot 1 - 0 cdot 0)
= -cos u , i + 0 , j - sin u , k
= (-cos u, 0, -sin u)

Passo 6

Agora, encontramos o módulo desse vetor:
| partial sigmapartial u times partial sigmapartial v | = raiz(-cos u)^2 + 0^2 + (-sin u)^2 = raizcos^2 u + sin^2 u = raiz1 = 1
Então, o módulo é 1, o que simplifica bastante nossa integral.

Passo 7

Agora, a área fica:
Área = integral duplaD 1 , du , dv Á
Ou seja, a área da superfície S é igual à área da região D no plano uv .

Passo 8

Vamos calcular a área da elipse u^2 + 4v^2 <= 1 . Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Área da elipse = pi a b Á
Onde a e b são os semi-eixos da elipse.
Na nossa condição u^2 + 4v^2 <= 1 , podemos reescrever como:
u^21 + v^2(1/2)^2 <= 1
Então, a = 1 e b = 12 .

Passo 9

Calculando a área:
Área = pi times 1 times 12 = pi2 Á

Resposta

A área das superfícies pedidas é pi2 unidades de área.

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