Calcule a área das superfícies pedidas. é a superfície parametrizada por , onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma superfície que está definida por uma parametrização. O conteúdo envolve cálculo de áreas de superfícies usando parametrizações e integrais duplas. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais, produto vetorial e integração em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície . Ela está dada por:
E a condição define a região sobre a qual vamos calcular a área. Essa condição representa uma elipse no plano .
Passo 3
Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da integral dupla que envolve o módulo do produto vetorial das derivadas parciais da parametrização. A fórmula é:
Onde D é a região definida por u^2 + 4v^2 <= 1 .
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas parciais de sigma em relação a u e v :
Primeira derivada parcial em relação a u :
partial sigmapartial u = (-sin u, 0, cos u)
Segunda derivada parcial em relação a v :
partial sigmapartial v = (0, 1, 0)
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
partial sigmapartial u times partial sigmapartial v = i & j & k -sin u & 0 & cos u 0 & 1 & 0
Resolvendo o determinante:
= i(0 cdot 0 - cos u cdot 1) - j(-sin u cdot 0 - cos u cdot 0) + k(-sin u cdot 1 - 0 cdot 0)
= -cos u , i + 0 , j - sin u , k
= (-cos u, 0, -sin u)
Passo 6
Agora, encontramos o módulo desse vetor:
| partial sigmapartial u times partial sigmapartial v | = raiz(-cos u)^2 + 0^2 + (-sin u)^2 = raizcos^2 u + sin^2 u = raiz1 = 1
Então, o módulo é 1, o que simplifica bastante nossa integral.
Passo 7
Agora, a área fica:
Área = integral duplaD 1 , du , dv Á
Ou seja, a área da superfície S é igual à área da região D no plano uv .
Passo 8
Vamos calcular a área da elipse u^2 + 4v^2 <= 1 . Sabemos que a área de uma elipse é dada por: