Determine a derivada direcional de f(x, y)=y e^-x no ponto (1,1) e na direção indicada pelo ângulo theta=pi / 6.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar a derivada direcional de
f(x,y)=y,e^-x
no ponto (1,1) e na direção que faz theta = pi/6 com o eixo x. Isso é matéria de Cálculo Diferencial em várias variáveis, e o que precisamos é:
1) calcular o gradiente de f (ou seja, as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y),
2) montar o vetor unitário na direção theta=pi/6,
3) fazer o produto escalar entre o gradiente em (1,1) e esse vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é derivada parcial: é como se a gente derivasse f em relação a uma variável, mantendo a outra fixa.
  • Para partial fpartial x, trata y como constante:
partial fpartial x =partialpartial xl(y,e^-xr) =ycdotddxl(e^-xr) =ycdot(-e^-x) =-y,e^-x
  • Para partial fpartial y, trata x como constante:
partial fpartial y =partialpartial yl(y,e^-xr) =e^-xcdotddy(y) =e^-xcdot1 =e^-x

Passo 3

Agora avaliamos essas parciais em (1,1):
partial fpartial x(1,1) =-,1cdot e^-1 =-,e^-1, partial fpartial y(1,1) =e^-1
Logo, o gradiente ali é
nabla f(1,1) =l(-e^-1,,e^-1r)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção theta=pi/6. Lembra que
u=(costheta,;sintheta) =l(costfracpi6,,sintfracpi6r) =l(tfracraiz32,,tfrac12r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional D!uf é o produto escalar entre nabla f(1,1) e u:
D!uf(1,1) =nabla f(1,1)cdot u =(-e^-1,,e^-1)cdotl(tfracraiz32,,tfrac12r) =-e^-1,raiz32 ;+;e^-1,12 =e^-1l(-tfracraiz32+tfrac12r)

Resposta

boxedDtheta=pi/6f(1,1) =1-raiz32,e

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