(I) Determine o gradiente de
.
(II) Calcule o gradiente no ponto
.
(III) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
a)
b)
(II) Calcule o gradiente no ponto
(III) Determine a taxa de variação de
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para cada função (a) e (b):
- Calcular o gradiente
usando derivadas parciais. - Avaliar
no ponto dado . - Calcular a taxa de variação de
em na direção de um vetor unitário , que é dado por
Passo 2
Função (a):
.
Derivadas parciais pelo Regra da Cadeia:
Derivadas parciais pelo Regra da Cadeia:
Logo
Passo 3
Avaliar em
:
Assim
Passo 4
Direção
.
Verificamos . Então
Verificamos
Passo 5
Função (b):
.
Derivadas parciais:
Derivadas parciais:
Logo
Passo 6
Avaliar em
:
Aqui implica
.
Aqui
Portanto
Passo 7
Direção
já tem norma 1.
Então
Então
Resposta
a)
(I)
(II)
(III)
(I)
(II)
(III)
b)
(I)
(II)
(III)
(I)
(II)
(III)