(I) Determine o gradiente de f.
(II) Calcule o gradiente no ponto P.
(III) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
a) f(x, y)=sen(2 x+3 y), P(-6,4), u=1 / 2(raiz3 i-j)
b) f(x, y, z)=x e^2 y z, P(3,0,2), u=lang<= 2 / 7,3 / 7,6 / 7rang<=

Passo 1

O enunciado pede para cada função (a) e (b):
  1. Calcular o gradiente nabla f usando derivadas parciais.
  2. Avaliar nabla f no ponto dado P.
  3. Calcular a taxa de variação de f em P na direção de um vetor unitário u, que é dado por
Duf(P)=nabla f(P)cdot u

Passo 2

Função (a): f(x,y)=sin(2x+3y).
Derivadas parciais pelo Regra da Cadeia:
fx(x,y)=cos(2x+3y)cdot partialpartial x(2x+3y) =;2cos(2x+3y),
fy(x,y)=cos(2x+3y)cdot partialpartial y(2x+3y) =;3cos(2x+3y)
Logo
nabla f(x,y)=llang<= 2cos(2x+3y),,3cos(2x+3y)rrang<=

Passo 3

Avaliar em P(-6,4):
2x+3y=2(-6)+3(4)=-12+12=0 Longrightarrow cos(0)=1
Assim
nabla f(-6,4)=lang<= 2cdot1,,3cdot1rang<==lang<= 2,,3rang<=

Passo 4

Direção u=tfrac12(raiz3,i - j)=lang<= tfracraiz32,,-tfrac12rang<=.
Verificamos |u|=1. Então
Duf(-6,4) =nabla f(-6,4)cdot u =lang<= 2,3rang<=cdotlang<= tfracraiz32,-tfrac12rang<= =2cdottfracraiz32+3cdotl(-tfrac12r) =raiz3-tfrac32

Passo 5

Função (b): f(x,y,z)=x,e^2yz.
Derivadas parciais:
fx(x,y,z)=e^2yz,
fy(x,y,z)=x,e^2yzcdotpartialpartial y(2yz) =2xz,e^2yz,
fz(x,y,z)=x,e^2yzcdotpartialpartial z(2yz) =2xy,e^2yz
Logo
nabla f(x,y,z) =llang<= e^2yz,,2xz,e^2yz,,2xy,e^2yzrrang<=

Passo 6

Avaliar em P(3,0,2):
Aqui y=0 implica e^2yz=e^0=1.
fx(3,0,2)=1, fy(3,0,2)=2cdot3cdot2cdot1=12, fz(3,0,2)=2cdot3cdot0cdot1=0
Portanto
nabla f(3,0,2)=lang<= 1,,12,,0rang<=

Passo 7

Direção u=lang<=tfrac27,tfrac37,tfrac67rang<= já tem norma 1.
Então
Duf(3,0,2) =nabla f(3,0,2)cdot u =lang<= 1,12,0rang<=cdotlang<=tfrac27,tfrac37,tfrac67rang<= =1cdottfrac27+12cdottfrac37+0 =tfrac27+tfrac367 =tfrac387

Resposta

a)
(I) nabla f(x,y)=lang<= 2cos(2x+3y),,3cos(2x+3y)rang<=
(II) nabla f(-6,4)=lang<= 2,3rang<=
(III) Duf(-6,4)=raiz3-tfrac32
b)
(I) nabla f(x,y,z)=lang<= e^2yz,,2xz,e^2yz,,2xy,e^2yzrang<=
(II) nabla f(3,0,2)=lang<= 1,12,0rang<=
(III) Duf(3,0,2)=tfrac387

Exercícios relacionados