Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 4 n^3-3 n+1n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de séries! O problema pede para determinar se a série sumn=1^infty 4n^3-3n+1n+1 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando n fica muito grande (tende ao infinito). Observamos que o termo geral da série é 4n^3-3n+1n+1.

Passo 3

Vamos simplificar esse termo dividindo os polinômios. Dividindo 4n^3 - 3n + 1 por n + 1, o termo dominante (o de maior potência) no numerador é 4n^3 e no denominador é n. Então, para simplificar, podemos aproximar:
4n^3-3n+1n+1 approx 4n^3n = 4n^2

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral an quando n tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Calculando o limite:
limn to infty 4n^3-3n+1n+1 = limn to infty 4n^2 = infty
Como o limite é infinito (não zero), pela regra do Teste da Divergência, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 4n^3-3n+1n+1 diverge.

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