Encontre uma equação as equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos P(-1,-2,1) a Q(3,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as equações paramétricas do segmento de reta que liga os pontos P(-1, -2, 1) a Q(3, -1, 2) . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional. Para isso, precisamos saber os pontos iniciais e finais e entender como expressar as coordenadas de qualquer ponto na reta em função de um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos P e Q . O ponto P tem coordenadas (-1, -2, 1) e o ponto Q tem coordenadas (3, -1, 2) . Para achar as equações paramétricas, precisamos calcular o vetor diretor da reta, que é a diferença entre as coordenadas de Q e P .

Passo 3

Calculando o vetor diretor PQ :
PQ = Q - P = (3 - (-1), -1 - (-2), 2 - 1) = (4, 1, 1)
Esse vetor PQ = (4, 1, 1) nos dá a direção da reta que liga P e Q .

Passo 4

Agora, usamos o ponto P e o vetor diretor PQ para escrever as equações paramétricas da reta. A fórmula geral para as equações paramétricas é:
x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct
onde (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto P e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor PQ .

Passo 5

Substituindo os valores:
x = -1 + 4t
y = -2 + 1t ou simp<=smente y = -2 + t
z = 1 + 1t ou z = 1 + t
Aqui, t é o parâmetro que varia entre 0 e 1 para cobrir todo o segmento de reta de P a Q .

Resposta

As equações paramétricas do segmento de reta que liga P(-1, -2, 1) a Q(3, -1, 2) são:
x = -1 + 4t, y = -2 + t, z = 1 + t, onde 0 <= t <= 1

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