Calcule a área total e a medida da altura (h) de um tetraedro regular de aresta a.
Passo 1
O enunciado pede a área total e a altura de um tetraedro regular de aresta
. Para isso vamos usar (1) a fórmula da área de um triângulo equilátero e (2) o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado por uma aresta, a altura do tetraedro e a distância do centro da face ao vértice oposto.
Passo 2
Cada face do tetraedro é um triângulo equilátero de lado
. A área de um triângulo equilátero é
Passo 3
Como há quatro faces iguais, a área total do tetraedro é
Passo 4
Para achar a altura
do tetraedro, considere a altura do triângulo de base:
O centroide desse triângulo fica a
de
a partir da base, ou seja,
Passo 5
Esse
é a distância do vértice oposto ao plano da face até o centroide da face.
Passo 6
No triângulo retângulo formado pela aresta
(hipotenusa), o cateto
e a altura
do tetraedro, aplicamos Pitágoras:
Resposta
A área total do tetraedro é
e a sua altura é