Calcule a área total e a medida da altura (h) de um tetraedro regular de aresta a.

Passo 1

O enunciado pede a área total e a altura de um tetraedro regular de aresta a. Para isso vamos usar (1) a fórmula da área de um triângulo equilátero e (2) o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado por uma aresta, a altura do tetraedro e a distância do centro da face ao vértice oposto.

Passo 2

Cada face do tetraedro é um triângulo equilátero de lado a. A área de um triângulo equilátero é
A_{\text{face}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.

Passo 3

Como há quatro faces iguais, a área total do tetraedro é
A_{\text{total}} = 4\,A_{\text{face}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \sqrt{3}\,a^2.

Passo 4

Para achar a altura h do tetraedro, considere a altura do triângulo de base:
h_{\text{face}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
O centroide desse triângulo fica a \tfrac{2}{3} de h_{\text{face}} a partir da base, ou seja,

Passo 5

d = \frac{2}{3}\,h_{\text{face}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\,a = \frac{a}{\sqrt{3}}.
Esse d é a distância do vértice oposto ao plano da face até o centroide da face.

Passo 6

No triângulo retângulo formado pela aresta a (hipotenusa), o cateto d e a altura h do tetraedro, aplicamos Pitágoras:
h = \sqrt{a^2 - d^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = a \,\sqrt{\frac{2}{3}}.

Resposta

A área total do tetraedro é
A_{\text{total}} = \sqrt{3}\,a^2
e a sua altura é
h = a \,\sqrt{\frac{2}{3}}.

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