Dada a reta r: X=(1,0,0)+\lambda(-1,-1,-1) e os pontos A=(0,0,1), B=(1,1,2), encontre os pontos de r que equidistam de A e B.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: X = (1,0,0) + \lambda(-1,-1,-1)
e os pontos
A = (0,0,1),\quad B = (1,1,2).
Queremos encontrar os pontos X sobre r tais que a distância de X até A seja igual à distância de X até B. O conteúdo envolvido é cálculo de distâncias em \mathbb{R}^3 e solução de equação em \lambda.

Passo 2

Primeiro escrevemos em função de \lambda as coordenadas de um ponto genérico X(\lambda)\in r. Temos
X(\lambda) = (1,0,0) + \lambda(-1,-1,-1) = (\,1-\lambda,\,-\lambda,\,-\lambda\,).

Passo 3

Para X(\lambda) ser equidistante de A e de B, basta igualar as distâncias ao quadrado (evita raiz). Calculamos
\|X(\lambda)-A\|^2 = (1-\lambda-0)^2 + (-\lambda-0)^2 + (-\lambda-1)^2
e
\|X(\lambda)-B\|^2 = (1-\lambda-1)^2 + (-\lambda-1)^2 + (-\lambda-2)^2.

Passo 4

Expandindo cada quadrado:
\|X(\lambda)-A\|^2 = (1-\lambda)^2 + \lambda^2 + (\!-\lambda-1\!)^2 = (\lambda^2-2\lambda+1) + \lambda^2 + (\lambda^2+2\lambda+1) = 3\lambda^2 + 2,
\|X(\lambda)-B\|^2 = (-\lambda)^2 + (\!-\lambda-1\!)^2 + (\!-\lambda-2\!)^2 = \lambda^2 + (\lambda^2+2\lambda+1) + (\lambda^2+4\lambda+4) = 3\lambda^2 + 6\lambda + 5.
Igualando:
3\lambda^2 + 2 = 3\lambda^2 + 6\lambda + 5 \quad\Longrightarrow\quad 6\lambda = -3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -\tfrac12.

Passo 5

Substituindo \lambda = -\tfrac12 em X(\lambda),
X\Bigl(-\tfrac12\Bigr) = \bigl(1 - (-\tfrac12),\, -(-\tfrac12),\, -(-\tfrac12)\bigr) = \bigl(\tfrac32,\, \tfrac12,\, \tfrac12\bigr).

Resposta

O único ponto de r que equidista de A e B é
\bigl(\tfrac32,\;\tfrac12,\;\tfrac12\bigr).

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