Reconhecer a cônica dada pela equação:
x^{2}+2 \sqrt{3} x y-y^{2}-4 x-4 \sqrt{3} y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica de equação
x^{2}+2\sqrt{3}\,xy - y^{2} - 4x - 4\sqrt{3}\,y = 0
e pede para reconhecê-la. O conteúdo é classificação de cônicas gerais pelo discriminante B^{2}-4AC e, se necessário, redução por rotação de eixos para obter a forma canônica.

Passo 2

Identificamos os coeficientes dos termos quadráticos na forma
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0:
A = 1,\quad B = 2\sqrt{3},\quad C = -1.
O discriminante é
\Delta = B^{2} - 4AC = (2\sqrt{3})^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) = 12 + 4 = 16 > 0.
Como \Delta>0, trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

Para ver a forma canônica, eliminamos o termo misto xy por rotação de eixos. O ângulo \theta satisfaz
\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} = \frac{2\sqrt{3}}{1 - (-1)} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},
logo 2\theta=60^\circ e \theta=30^\circ.

Passo 4

Definimos as novas variáveis
\begin{cases} x = X\cos30^\circ - Y\sin30^\circ,\\\ y = X\sin30^\circ + Y\cos30^\circ, \end{cases}
com \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\tfrac12. Substituindo e agrupando, obtém-se a equação em X,Y:
2X^{2} - 2Y^{2} -4\sqrt{3}\,X -4\,Y = 0.
Dividindo por 2:
X^{2} - Y^{2} -2\sqrt{3}\,X -2\,Y = 0.

Passo 5

Completemos quadrados:
X^{2}-2\sqrt{3}X = (X-\sqrt{3})^{2} - 3, \qquad -Y^{2}-2Y = -\bigl((Y+1)^{2}-1\bigr) = - (Y+1)^{2} +1.
Substituindo na equação e isolando a constante:
(X-\sqrt{3})^{2} - (Y+1)^{2} -2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(X-\sqrt{3})^{2}}{2} - \frac{(Y+1)^{2}}{2} = 1.
Isso mostra que é uma hipérbole central, retangular ( a=b) em eixos X,Y.

Resposta

É uma hipérbole (retangular) cujo centro, em coordenadas originais, é (2,0) e cuja forma canônica em eixos rotacionados 30^\circ é
\frac{(X-\sqrt{3})^{2}}{2} \;-\;\frac{(Y+1)^{2}}{2}=1.

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