Reconhecer a cônica dada pela equação:
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica de equação
e pede para reconhecê-la. O conteúdo é classificação de cônicas gerais pelo discriminante
e, se necessário, redução por rotação de eixos para obter a forma canônica.
Passo 2
Identificamos os coeficientes dos termos quadráticos na forma
O discriminante é
Como
, trata-se de uma hipérbole.
Passo 3
Para ver a forma canônica, eliminamos o termo misto
por rotação de eixos. O ângulo
satisfaz
logo
e
.
Passo 4
Definimos as novas variáveis
com
e
. Substituindo e agrupando, obtém-se a equação em
:
Dividindo por 2:
Passo 5
Completemos quadrados:
Substituindo na equação e isolando a constante:
Isso mostra que é uma hipérbole central, retangular (
) em eixos
.
Resposta
É uma hipérbole (retangular) cujo centro, em coordenadas originais, é
e cuja forma canônica em eixos rotacionados
é