Calcule a área total de uma pirâmide regular triangular de altura 12 m e aresta da base 10 raiz3 m.

Passo 1

O enunciado pede a área total de uma pirâmide regular de base triangular. Isso envolve duas partes: a área da base (um triângulo equilátero de aresta a = 10raiz3,m) e a área lateral (três faces iguais, cada uma um triângulo isósceles com base 10raiz3 e altura lateral que chamaremos de l). A altura da pirâmide é h=12,m.

Passo 2

Calcular a área da base, que é um triângulo equilátero de lado a. A fórmula da área de um triângulo equilátero é
Abase = a^2raiz34
Substituindo a=10raiz3,
Abase = l(10raiz3r)^2raiz34 = 100cdot 3raiz34 = 300raiz34 =75raiz3,m^2

Passo 3

Determinar a altura lateral l de cada face. O pé da altura h é o centróide do triângulo de base, cuja distância até o meio de cada aresta é o raio da circunferência inscrita no triângulo (inradius) dado por
r = araiz36 = 10raiz3,raiz36 = 10cdot 36 =5,m
Assim, cada face lateral tem altura
l = raizh^2 + r^2 = raiz12^2 + 5^2 = raiz144 + 25 =13,m

Passo 4

Calcular a área de uma face lateral, que é um triângulo de base a=10raiz3 e altura l=13:
Aface = a , l2 = 10raiz3cdot 132 =65raiz3,m^2
Como há 3 faces iguais, a área lateral total é
Alat =3cdot 65raiz3 =195raiz3,m^2

Passo 5

Somar a área da base com a área lateral para obter a área total:
Atotal = Abase + Alat =75raiz3 +195raiz3 =270raiz3,m^2

Resposta

A área total da pirâmide é 270raiz3,m^2.

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