Qual é o volume de uma pirâmide regular hexagonal de aresta da base
cuja área lateral mede
.
Passo 1
Resumo do problema: Precisamos encontrar o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja aresta da base mede
e a área lateral é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a pirâmides, como área da base, área lateral, e fórmulas de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da base da pirâmide. Como a base é um hexágono regular, utilizamos a fórmula da área do hexágono:
onde
é a aresta da base. Substituindo
:
Passo 3
Sabemos que a área lateral da pirâmide é
. A área lateral de uma pirâmide regular é dada por:
onde
é o perímetro da base e
é a apótema lateral (a altura das faces triangulares).
Primeiro, calculamos o perímetro da base:
Agora, substituímos na fórmula da área lateral para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com a apótema lateral
, precisamos encontrar a altura da pirâmide
. Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura da pirâmide, a apótema lateral e a apótema da base.
Primeiro, encontramos a apótema da base (
) do hexágono:
Agora, aplicamos o teorema de Pitágoras:
Passo 5
Com a altura
e a área da base
, podemos calcular o volume da pirâmide usando a fórmula:
Resposta
O volume da pirâmide regular hexagonal é
.