Qual é o volume de uma pirâmide regular hexagonal de aresta da base 4 raiz3 cm cuja área lateral mede 120 raiz3 cm^2.

Passo 1

Resumo do problema: Precisamos encontrar o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja aresta da base mede 4 raiz3, cm e a área lateral é 120 raiz3, cm^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a pirâmides, como área da base, área lateral, e fórmulas de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da base da pirâmide. Como a base é um hexágono regular, utilizamos a fórmula da área do hexágono:
Abase = 3 raiz32 a^2
onde a é a aresta da base. Substituindo a = 4 raiz3, cm:
Abase = 3 raiz32 times (4 raiz3)^2 = 3 raiz32 times 16 times 3 = 3 raiz32 times 48 = 72 raiz3, cm^2

Passo 3

Sabemos que a área lateral da pirâmide é 120 raiz3, cm^2. A área lateral de uma pirâmide regular é dada por:
Alateral = 12 P l
onde P é o perímetro da base e l é a apótema lateral (a altura das faces triangulares).
Primeiro, calculamos o perímetro da base:
P = 6 times a = 6 times 4 raiz3 = 24 raiz3, cm
Agora, substituímos na fórmula da área lateral para encontrar l:
120 raiz3 = 12 times 24 raiz3 times l
Resolvendo para l:
120 raiz3 = 12 raiz3 times l implies l = 120 raiz312 raiz3 = 10, cm

Passo 4

Com a apótema lateral l = 10, cm, precisamos encontrar a altura da pirâmide h. Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura da pirâmide, a apótema lateral e a apótema da base.
Primeiro, encontramos a apótema da base ( ab) do hexágono:
ab = a raiz32 = 4 raiz3 times raiz32 = 122 = 6, cm
Agora, aplicamos o teorema de Pitágoras:
h = raizl^2 - ab^2 = raiz10^2 - 6^2 = raiz100 - 36 = raiz64 = 8, cm

Passo 5

Com a altura h = 8, cm e a área da base Abase = 72 raiz3, cm^2, podemos calcular o volume da pirâmide usando a fórmula:
V = 13 Abase h = 13 times 72 raiz3 times 8 = 24 raiz3 times 8 = 192 raiz3, cm^3

Resposta

O volume da pirâmide regular hexagonal é 192 raiz3, cm^3.

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