Sejam u=3 i-4 j+2 k, v=2 i+5 j-3 k e w=4 i+7 j+2 k. Encontre
(a) 2 u-3 v;
(b) 3 u+4 v-2 w;
(c) u cdot v, u cdot w, v cdot w;
(d) |u|,|v|,|w|.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = (3,-4,2), v = (2,5,-3), w = (4,7,2)
e pede operações de combinação linear, produto escalar e norma. Vamos usar as propriedades: multiplicação escalar e soma de vetores para as partes (a) e (b), a definição de produto escalar para (c) e a definição de norma via raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes para (d).

Passo 2

Para calcular 2u - 3v aplicamos a multiplicação escalar em cada vetor e depois subtraímos componente a componente:
2u = (2cdot3,;2cdot(-4),;2cdot2) = (6,-8,4),
3v = (3cdot2,;3cdot5,;3cdot(-3)) = (6,15,-9)
Então
2u - 3v = (6-6,;-8-15,;4-(-9)) = (0,-23,13)

Passo 3

Para 3u + 4v - 2w fazemos cada operação em sequência:
3u = (9,-12,6), 4v = (8,20,-12), 2w = (8,14,4)
Somando e subtraindo componente a componente:
3u + 4v - 2w = (9+8-8,;-12+20-14,;6-12-4) = (9,-6,-10)

Passo 4

O produto escalar de dois vetores (a,b,c)cdot(x,y,z) é ax+by+cz. Assim:
ucdot v = 3cdot2 + (-4)cdot5 + 2cdot(-3) = 6 - 20 - 6 = -20,
ucdot w = 3cdot4 + (-4)cdot7 + 2cdot2 = 12 - 28 + 4 = -12,
vcdot w = 2cdot4 + 5cdot7 + (-3)cdot2 = 8 + 35 - 6 = 37

Passo 5

A norma de (a,b,c) é raiza^2+b^2+c^2. Logo:
|u| = raiz3^2 + (-4)^2 + 2^2 = raiz9 + 16 + 4 = raiz29,
|v| = raiz2^2 + 5^2 + (-3)^2 = raiz4 + 25 + 9 = raiz38,
|w| = raiz4^2 + 7^2 + 2^2 = raiz16 + 49 + 4 = raiz69

Resposta

(a) 2u - 3v = (0,-23,13)
(b) 3u + 4v - 2w = (9,-6,-10)
(c) ucdot v = -20, ucdot w = -12, vcdot w = 37
(d) |u| = raiz29, |v| = raiz38, |w| = raiz69

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