Calcule a área total da rosácea
.
Passo 1
O enunciado pede a área total da curva polar
para
. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e usaremos a fórmula de área de um pétala e a simetria da rosácea.
Passo 2
Em coordenadas polares, a área de uma região gerada por um laço de
até
é
Como a rosácea
tem
pétalas idênticas, calculamos a área de uma pétala e depois multiplicamos por
.
Passo 3
Identificamos um intervalo em que
, que dá uma pétala completa. Tomamos
Assim, a área de uma pétala é
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
,
, com
variando de
a
:
Usando
,
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Passo 5
Como há
pétalas idênticas, a área total é