Calcule a área total da rosácea r(theta)=cos (3 theta) com theta in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede a área total da curva polar r(theta)=cos(3theta) para thetain[0,2pi]. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e usaremos a fórmula de área de um pétala e a simetria da rosácea.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área de uma região gerada por um laço de theta=a até theta=b é
A=12integrala^br(theta)^2,dtheta
Como a rosácea r=cos(3theta) tem 3 pétalas idênticas, calculamos a área de uma pétala e depois multiplicamos por 3.

Passo 3

Identificamos um intervalo em que cos(3theta)>=0, que dá uma pétala completa. Tomamos
3thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r] Longrightarrow thetainl[-tfracpi6,tfracpi6r]
Assim, a área de uma pétala é
Apétala =12integral-pi/6^pi/6cos^2(3theta),dtheta é

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u=3theta, du=3,dtheta, com u variando de -pi/2 a pi/2:
Apétala =12integral-pi/2^pi/2cos^2(u),du3 =16integral-pi/2^pi/2cos^2(u),du é
Usando cos^2(u)=tfrac1+cos(2u)2,
integral-pi/2^pi/2cos^2(u),du =integral-pi/2^pi/21+cos(2u)2,du =[u2+sin(2u)4]-pi/2^pi/2 =pi2
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Apétala =16cdotpi2 =pi12 é

Passo 5

Como há 3 pétalas idênticas, a área total é
Atotal =3times Apétala =3timespi12 =pi4 é

Resposta

pi4

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