Escreva a integral tripla em coordenadas cartesianas, em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas, de uma função f(x, y, z) no domínio limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e pelo plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de f(x,y,z) sobre a região
D = (x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=4,;z>=1,
ou seja, a porção do interior da esfera de raio 2 que fica acima do plano z=1. Vamos escrever
  1. em coordenadas cartesianas,
  2. em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com x=rcostheta,;y=rsintheta,
  3. em coordenadas esféricas (rho,phi,theta) com x=rhosinphicostheta,;y=rhosinphisintheta,;z=rhocosphi.

Passo 2

Coordenadas cartesianas:
  • z varia de 1 até a superfície da esfera z=raiz4-(x^2+y^2),
  • para cada z, x^2+y^2<=4-z^2, ou seja y de -raiz4-z^2 a +raiz4-z^2 e x de -raiz4-z^2-y^2 a +raiz4-z^2-y^2.
integralz=1^2,integraly=-raiz4-z^2^raiz4-z^2,integralx=-raiz4-z^2-y^2^raiz4-z^2-y^2 f(x,y,z),dx,dy,dz

Passo 3

Coordenadas cilíndricas (r,theta,z):
  • a esfera dá r^2+z^2<=4 Rightarrow para cada zin[1,2], rin[0,raiz4-z^2],
  • theta percorre 0 a 2pi,
  • o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz.
integraltheta=0^2pi!integralz=1^2!integralr=0^raiz4-z^2 f(rcostheta,,rsintheta,,z);r,dr,dz,dtheta

Passo 4

Coordenadas esféricas (rho,phi,theta):
  • a esfera é rho<=2,
  • o plano z=1 vira rhocosphi=1 Rightarrow rho=1/cosphi,
  • o ângulo polar phi varia de 0 até phi0 com cosphi0=1/2 Rightarrow phi0=pi/3,
  • theta de 0 a 2pi,
  • o jacobiano é rho^2sinphi.
integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/3!integralrho=1/cosphi^2 f(rhosinphicostheta,;rhosinphisintheta,;rhocosphi);rho^2sinphi, drho,dphi,dtheta

Resposta

Integral em coordenadas cartesianas:
integralz=1^2,integraly=-raiz4-z^2^raiz4-z^2,integralx=-raiz4-z^2-y^2^raiz4-z^2-y^2 f(x,y,z),dx,dy,dz
Integral em coordenadas cilíndricas:
integraltheta=0^2pi!integralz=1^2!integralr=0^raiz4-z^2 f(rcostheta,,rsintheta,,z);r,dr,dz,dtheta
Integral em coordenadas esféricas:
integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/3!integralrho=1/cosphi^2 f(rhosinphicostheta,;rhosinphisintheta,;rhocosphi);rho^2sinphi, drho,dphi,dtheta

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