Escreva a integral tripla em coordenadas cartesianas, em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas, de uma função
no domínio limitado pela esfera
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla de
sobre a região
ou seja, a porção do interior da esfera de raio
que fica acima do plano
. Vamos escrever
- em coordenadas cartesianas,
- em coordenadas cilíndricas
com , - em coordenadas esféricas
com .
Passo 2
Coordenadas cartesianas:
-
varia de até a superfície da esfera , - para cada
, , ou seja de a e de a .
Passo 3
Coordenadas cilíndricas
:
- a esfera dá
para cada , , -
percorre a , - o elemento de volume é
.
Passo 4
Coordenadas esféricas
:
- a esfera é
, - o plano
vira , - o ângulo polar
varia de até com , -
de a , - o jacobiano é
.
Resposta
Integral em coordenadas cartesianas:
Integral em coordenadas cilíndricas:
Integral em coordenadas esféricas: