Calcule o volume do sólido limitado:
pelas superfícies
pelas superfícies
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
O conteúdo envolve coordenadas cilíndricas e integração dupla/tripla para volumes. Vamos:
- Identificar a região de projeção no plano
pela interseção das superfícies. - Escolher coordenadas cilíndricas para simplificar
. - Montar e calcular a integral de volume.
Passo 2
Encontrar a curva de interseção:
Em coordenadas cilíndricas isso vira
logo
ou
. A fronteira não-trivial é
.
Passo 3
Determinar qual superfície está “em cima” para
.
Comparando e
, vemos que para
vale
.
Portanto o sólido tem, em cada raio ,
Comparando
Portanto o sólido tem, em cada raio
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
.
Montamos a integral aninhada como
Montamos a integral aninhada como
Passo 5
Integrar em
primeiro:
Então sobra
Passo 6
Calcular a integral em
e
:
Multiplicando por
, vem
Resposta
O volume do sólido é
.