Calcule o volume do sólido limitado:
pelas superfícies z=raizx^2+y^2 e z=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z = raizx^2+y^2
e
z = x^2+y^2
O conteúdo envolve coordenadas cilíndricas e integração dupla/tripla para volumes. Vamos:
  1. Identificar a região de projeção no plano xy pela interseção das superfícies.
  2. Escolher coordenadas cilíndricas para simplificar x^2+y^2=r^2.
  3. Montar e calcular a integral de volume.

Passo 2

Encontrar a curva de interseção:
raizx^2+y^2 ;=; x^2+y^2
Em coordenadas cilíndricas isso vira
r = r^2,
logo r=0 ou r=1. A fronteira não-trivial é r=1.

Passo 3

Determinar qual superfície está “em cima” para 0<= r<=1.
Comparando z1=r e z2=r^2, vemos que para 0<r<1 vale r>r^2.
Portanto o sólido tem, em cada raio r,
base inferior z=r^2, base superior z=r

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz.
Montamos a integral aninhada como
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=r^2^z=r r ,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integrar em z primeiro:
integralz=r^2^r r ,dz = rl[zr]r^2^r = r,(r - r^2) = r^2 - r^3
Então sobra
V = integral0^2pi integral0^1 l(r^2 - r^3r) ,dr,dtheta

Passo 6

Calcular a integral em r e theta:
integral0^1(r^2-r^3),dr = l[tfracr^33-tfracr^44r]0^1 = tfrac13-tfrac14 = tfrac112
Multiplicando por integral0^2pidtheta = 2pi, vem
V = 2pi cdot tfrac112 = tfracpi6

Resposta

O volume do sólido é pi6.

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