Determine o volume do sólido limitado por z=x^2, z=1 e cuja projeçao no plano x y é limitada por y=x^2 e y=2-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido entre as superfícies ,z=x^2 (abaixo) e ,z=1 (acima), cuja projeção no plano xy é o conjunto
R = (x,y)mid y=x^2 e y=2 - x^2
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla, usando
V = integral duplaRl(ztopo - zfundor),dA = integral duplaRl(1 - x^2r),dA

Passo 2

Para descrever R em coordenadas cartesianas resolvemos
x^2 <= 2 - x^2 Longrightarrow 2x^2 <= 2 Longrightarrow -1 <= x <= 1,
e para cada x fixo temos
y in l[x^2,,2 - x^2r]

Passo 3

Com esses limites podemos escrever
V = integralx=-1^1!integraly=x^2^,2 - x^2l(1 - x^2r),dy,dx

Passo 4

Fazendo a integral interna em y obtemos
integralx^2^2 - x^2l(1 - x^2r),dy = (1 - x^2)l[(2 - x^2) - x^2r] = 2,(1 - x^2)^2
Portanto sobra
V = integral-1^12,(1 - x^2)^2,dx

Passo 5

Expandindo e integrando em x:
2integral-1^1(1 - 2x^2 + x^4),dx =2l[,(2) - 2cdot23 + 25r] =2cdot1615 =3215

Resposta

V = 3215

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