Calcule a área do triângulo A B C, onde \overrightarrow{A B}=(1,5,3) e \overrightarrow{A C}=(-1,0,2).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC no espaço, sabendo que os vetores \overrightarrow{AB}=(1,5,3) e \overrightarrow{AC}=(-1,0,2). Para isso, vamos usar o fato de que a área de um triângulo dado por dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é
\text{Área} = \tfrac12\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.Á

Passo 2

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \bigl(5\cdot2 - 3\cdot0,\; -(1\cdot2 - 3\cdot(-1)),\; 1\cdot0 - 5\cdot(-1)\bigr) = (10,\;-5,\;5).

Passo 3

Agora encontramos a norma desse vetor:
\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25 + 25} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}.
Logo, a área do triângulo é
\text{Área} = \tfrac12 \times 5\sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{2}

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