Considere o vetor \vec{n}=(2,2,2) e o ponto P=(1,1,1). Determine a equação geral de um plano \pi, sabendo que \vec{n} é um vetor normal a \pi e que a distância de P ao plano é d(P, \pi)=\sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano \pi que tenha como vetor normal \vec{n}=(2,2,2) e cuja distância ao ponto P=(1,1,1) seja d(P,\pi)=\sqrt{3}. Vamos usar a forma geral de um plano e a fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

Um plano com normal \vec{n}=(2,2,2) pode ser escrito como
2x + 2y + 2z + D = 0,
onde D é constante. A distância de P=(x_0,y_0,z_0) a esse plano é
d(P,\pi) = \frac{\bigl|2x_0 + 2y_0 + 2z_0 + D\bigr|}{\|\vec{n}\|}.

Passo 3

Primeiro calculamos o módulo de \vec{n}:
\|\vec{n}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
Substituindo P=(1,1,1) na fórmula da distância e igualando a \sqrt{3}, obtemos
\frac{\bigl|2\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot1 + D\bigr|}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{|6 + D|}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2\sqrt{3}:
|6 + D| = 2\sqrt{3}\,\sqrt{3} = 2\cdot 3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad 6 + D = \pm 6.
Isso gera duas soluções para D:
\begin{cases} 6 + D = 6 \;\Longrightarrow\; D = 0,\\\\ 6 + D = -6 \;\Longrightarrow\; D = -12. \end{cases}

Resposta

As duas equações gerais do plano são
2x + 2y + 2z = 0 \quad\text{ou}\quad 2x + 2y + 2z - 12 = 0,
equivalentemente
x + y + z = 0 \quad\text{ou}\quad x + y + z = 6.

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