Sejam \vec{a} e \vec{b} vetores tais que \|\vec{a}\|=1,\|\vec{b}\|=2 e ang (\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}. Sabendo que
\vec{u}=\vec{a}+3 \vec{b} \quad \text { e } \quad \vec{v}=2 \vec{a}-\vec{b},
determine
(a) \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
(b) \cos \theta, onde \theta=\operatorname{ang}(\vec{u}, \vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{a} e \vec{b} tais que
\|\vec{a}\|=1, \|\vec{b}\|=2 e \operatorname{ang}(\vec{a},\vec{b})=60^\circ. Definimos
\vec{u}=\vec{a}+3\vec{b} e \vec{v}=2\vec{a}-\vec{b}.
Queremos (a) \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| e (b) \cos\theta onde \theta=\operatorname{ang}(\vec{u},\vec{v}).
Para isso, vamos usar que o produto escalar satisfaz
\vec{x}\cdot\vec{y}=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos\bigl(\operatorname{ang}(\vec{x},\vec{y})\bigr)
e que \|\vec{x}\|^2=\vec{x}\cdot\vec{x}.

Passo 2

Primeiro, calculamos \vec{a}\cdot\vec{b} usando
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos 60^\circ =1\cdot 2\cdot\frac{1}{2}=1.

Passo 3

Para \|\vec{u}\|, usamos \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u} =(\vec{a}+3\vec{b})\cdot(\vec{a}+3\vec{b}) =\vec{a}\cdot\vec{a}+6\,\vec{a}\cdot\vec{b}+9\,\vec{b}\cdot\vec{b} =1+6\cdot1+9\cdot4=43.
Logo,
\|\vec{u}\|=\sqrt{43}.

Passo 4

Para \|\vec{v}\|, temos \|\vec{v}\|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v} =(2\vec{a}-\vec{b})\cdot(2\vec{a}-\vec{b}) =4\,\vec{a}\cdot\vec{a}-4\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b} =4-4\cdot1+4=4.
Portanto,
\|\vec{v}\|=2.

Passo 5

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v} =(\vec{a}+3\vec{b})\cdot(2\vec{a}-\vec{b}) =2\,\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+6\,\vec{b}\cdot\vec{a}-3\,\vec{b}\cdot\vec{b} =2-1+6-3\cdot4=-5.

Passo 6

Finalmente,
\cos\theta =\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} =\frac{-5}{\sqrt{43}\cdot 2} =-\frac{5}{2\sqrt{43}}.

Resposta

(a) \|\vec{u}\|=\sqrt{43} e \|\vec{v}\|=2.
(b) \cos\theta=-\dfrac{5}{2\sqrt{43}}.

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