Sejam \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(2,-1,3) e \vec{w}=(-1,5,-3). Mostre que
[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=0 .
Em seguida, encontre a, b \in \mathbb{R} tais que
\vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v} .
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec u=(1,1,1), \vec v=(2,-1,3) e \vec w=(-1,5,-3). Primeiro precisamos mostrar que o produto misto
[\vec u,\vec v,\vec w]=0,
o que equivale a verificar que esses três vetores são linearmente dependentes. Em seguida, vamos usar essa dependência para escrever \vec w como combinação linear de \vec u e \vec v, isto é, encontrar a,b\in\mathbb R tais que
\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v.
Passo 2
O produto misto pode ser calculado pelo determinante
Como [\vec u,\vec v,\vec w]=0, os vetores são linearmente dependentes e, em particular, \vec w pertence ao plano gerado por \vec u e \vec v. Então existem a,b\in\mathbb R tais que
\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v.
Passo 4
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b = -1,\\\ a - b = 5,\\\ a + 3b = -3. \end{cases}
Passo 5
Da segunda equação vem a = 5 + b. Substituindo na primeira: