Sejam \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(2,-1,3) e \vec{w}=(-1,5,-3). Mostre que
[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=0 .
Em seguida, encontre a, b \in \mathbb{R} tais que
\vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v} .

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(1,1,1), \vec v=(2,-1,3) e \vec w=(-1,5,-3). Primeiro precisamos mostrar que o produto misto
[\vec u,\vec v,\vec w]=0,
o que equivale a verificar que esses três vetores são linearmente dependentes. Em seguida, vamos usar essa dependência para escrever \vec w como combinação linear de \vec u e \vec v, isto é, encontrar a,b\in\mathbb R tais que
\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v.

Passo 2

O produto misto pode ser calculado pelo determinante
[\vec u,\vec v,\vec w] =\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & -1 & 5\\\\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix}.
Desenvolvendo pela primeira linha:
\begin{aligned} [\vec u,\vec v,\vec w] &=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\\ 3 & -3\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 5\\\ 1 & -3\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}\\\ &=1\bigl((-1)(-3)-5\cdot3\bigr) -2\bigl(1\cdot(-3)-5\cdot1\bigr) -1\bigl(1\cdot3-(-1)\cdot1\bigr)\\\ &=(3-15)-2(-3-5)-1(3+1)\\\ &=-12-2(-8)-4\\\ &=-12+16-4\\\ &=0. \end{aligned}

Passo 3

Como [\vec u,\vec v,\vec w]=0, os vetores são linearmente dependentes e, em particular, \vec w pertence ao plano gerado por \vec u e \vec v. Então existem a,b\in\mathbb R tais que
\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v.

Passo 4

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b = -1,\\\ a - b = 5,\\\ a + 3b = -3. \end{cases}

Passo 5

Da segunda equação vem a = 5 + b. Substituindo na primeira:
(5+b)+2b=-1\quad\Longrightarrow\quad3b=-6\quad\Longrightarrow\quad b=-2.
Logo a=5+(-2)=3. Verificando na terceira:
3+3(-2)=3-6=-3,
confere corretamente.

Resposta

[\vec u,\vec v,\vec w]=0 e \displaystyle a=3,\;b=-2.

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