Determine um vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{u}=(2,1,3) e \vec{v}=(1,-1,2) e de norma \sqrt{140}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{w} ortogonal a \vec{u}=(2,1,3) e \vec{v}=(1,-1,2) e com norma \sqrt{140}. Em \mathbb{R}^3, o produto vetorial gera um vetor perpendicular a dois vetores dados; depois ajustamos sua magnitude para \sqrt{140}.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a definição por determinante:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(1\cdot2 - 3\cdot(-1),\;-(2\cdot2 - 3\cdot1),\;2\cdot(-1)-1\cdot1\bigr) = (5,\,-1,\,-3).

Passo 3

Calcular a norma de \vec{w}_0=(5,-1,-3):
\|\vec{w}_0\| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}.

Passo 4

Queremos \|\vec{w}\| = \sqrt{140} = 2\sqrt{35}. Basta multiplicar \vec{w}_0 por 2:
\vec{w} = 2\,\vec{w}_0 = (10,\,-2,\,-6),
e então
\|\vec{w}\| = 2\,\|\vec{w}_0\| = 2\sqrt{35} = \sqrt{140}.

Resposta

\vec{w} = (10,-2,-6).

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