Calcule a área do triângulo definido pelos pontos A(-2,1,-3), B(3,-4,2) e C(-1,5,6).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo definido pelos pontos A(-2,1,-3), B(3,-4,2) e C(-1,5,6). O conteúdo é geometria vetorial no \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos usar que a área de um triângulo ABC é
\text{Área} = \tfrac12 \bigl\|\vec{AB}\times \vec{AC}\bigr\|Á
ou seja, precisamos calcular os vetores \vec{AB} e \vec{AC}, seu produto vetorial e finalmente a norma desse produto.

Passo 2

Calcular os vetores
\vec{AB} = B - A = (3 - (-2),\;-4 - 1,\;2 - (-3)) = (5,\,-5,\,5),
\vec{AC} = C - A = (-1 - (-2),\;5 - 1,\;6 - (-3)) = (1,\,4,\,9).

Passo 3

O produto vetorial em coordenadas é dado pelo determinante
\vec{AB}\times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 5 & -5 & 5 \\\\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} = \bigl((-5)\cdot9 - 5\cdot4,\;5\cdot1 - 5\cdot9,\;5\cdot4 - (-5)\cdot1\bigr).
Calculando cada componente:
(-45 - 20,\;5 - 45,\;20 + 5) = (-65,\,-40,\,25).

Passo 4

A norma desse vetor é
\|\vec{AB}\times \vec{AC}\| = \sqrt{(-65)^2 + (-40)^2 + 25^2} = \sqrt{4225 + 1600 + 625} = \sqrt{6450}.
Fatorando 6450 = 25\cdot258, obtemos
\|\vec{AB}\times \vec{AC}\| = 5\sqrt{258}.

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é
\text{Área} = \tfrac12 \|\vec{AB}\times \vec{AC}\| = \tfrac12 \cdot 5\sqrt{258} = \frac{5}{2}\,\sqrt{258}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}\sqrt{258}

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