Mostre que os pontos A=(-2,1,3), B=(7,-2,3), C=(-4,3,1) e D=(-1,0,4) são coplanares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os pontos A=(-2,1,3), B=(7,-2,3), C=(-4,3,1) e D=(-1,0,4) são coplanares. Vamos usar a condição vetorial: quatro pontos são coplanares se o produto misto de três vetores formados a partir de um deles for zero.

Passo 2

Definimos os vetores a partir de A:
\vec{AB} = B - A,
\vec{AC} = C - A,
\vec{AD} = D - A.

Passo 3

Calculamos cada um:
\vec{AB} = (7 - (-2),\,-2 - 1,\,3 - 3) = (9,\,-3,\,0),
\vec{AC} = (-4 - (-2),\,3 - 1,\,1 - 3) = (-2,\,2,\,-2),
\vec{AD} = (-1 - (-2),\,0 - 1,\,4 - 3) = (1,\,-1,\,1).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}:
\vec{AB}\times\vec{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 9 & -3 & 0 \\\\ -2 & 2 & -2 \end{vmatrix} =(6,\;18,\;12).

Passo 5

Agora o produto escalar (\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}:
(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD} =(6,\;18,\;12)\cdot(1,\,-1,\;1) =6 - 18 + 12 = 0.
Como esse produto misto é zero, os vetores são linearmente dependentes, o que implica que A, B, C e D estão no mesmo plano.

Resposta

Os pontos A, B, C e D são coplanares.

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