Verifique se os vetores dados abaixo formam ou não uma base de \mathbb{R}^{3}.
a) \vec{a}=2 \vec{i}-5 \vec{j}-4 \vec{k} ; \vec{b}=-\vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k} ; \vec{c}=3 \vec{i}+\vec{j}-7 \vec{k}
b) \vec{u}=-4 \vec{i}+\vec{j}+5 \vec{k} ; \vec{v}=\vec{i}-3 \vec{j}+3 \vec{k} ; \vec{c}=-2 \vec{i}-5 \vec{j}+11 \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se três vetores em \mathbb{R}^3 formam uma base.
Conteúdo: independência linear em \mathbb{R}^3.
Estratégia: montar a matriz cujas colunas são os vetores dados e calcular o determinante. Se \det\neq0, os vetores são linearmente independentes e, como são três em \mathbb{R}^3, formam base.

Passo 2

Para os vetores
\vec{a}=(2,-5,-4),
\vec{b}=(-1,3,-2),
\vec{c}=(3,1,-7),
montamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ -5 & 3 & 1\\\\ -4 & -2 & -7 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) = 2\begin{vmatrix}3 & 1\\\ -2 & -7\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}-5 & 1\\\ -4 & -7\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}-5 & 3\\\ -4 & -2\end{vmatrix} =2(-21+2)+1(35+4)+3(10+12) =-38+39+66=67\neq0.
Como \det(A)\neq0, os vetores são linearmente independentes e formam base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para os vetores
\vec{u}=(-4,1,5),
\vec{v}=(1,-3,3),
\vec{c}=(-2,-5,11),
montamos a matriz
B = \begin{pmatrix} -4 & 1 & -2\\\\ 1 & -3 & -5\\\\ 5 & 3 & 11 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(B) =-4\begin{vmatrix}-3 & -5\\\ 3 & 11\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1 & -5\\\ 5 & 11\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1 & -3\\\ 5 & 3\end{vmatrix} =-4(-18)-36-36=72-72=0.
Como \det(B)=0, os vetores são linearmente dependentes e não formam base de \mathbb{R}^3.

Resposta

(a) Formam base de \mathbb{R}^3.
(b) Não formam base de \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados