Considerando os vetores \vec{u}=(2,-5,-6) e \vec{v}=(-1,-4,1), faça o que se pede:
a) calcule \vec{u} \wedge \vec{v};
b) calcule os cossenos diretores de (\vec{u}+\vec{v}) \wedge(\vec{u}-\vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(2,-5,-6) e \vec{v}=(-1,-4,1) e pede:
  1. O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
  2. Os cossenos diretores do vetor (\vec{u}+\vec{v})\times(\vec{u}-\vec{v}).
    O conteúdo usado será a definição de produto vetorial em \mathbb{R}^3 e a definição de cossenos diretores de um vetor.

Passo 2

Para calcular \vec{u}\times\vec{v} usamos a fórmula
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(u_yv_z - u_zv_y,\;u_zv_x - u_xv_z,\;u_xv_y - u_yv_x\bigr).
Aqui u_x=2, u_y=-5, u_z=-6, v_x=-1, v_y=-4, v_z=1. Então
\vec{u}\times\vec{v} =\bigl((-5)\cdot1 - (-6)\cdot(-4),\;(-6)\cdot(-1) - 2\cdot1,\;2\cdot(-4) - (-5)\cdot(-1)\bigr)
=\bigl(-5 - 24,\;6 - 2,\;-8 - 5\bigr) =\bigl(-29,\;4,\;-13\bigr).

Passo 3

Agora definimos
\vec{a} = \vec{u}+\vec{v} = (2-1,\;-5-4,\;-6+1) = (1,\;-9,\;-5),
\vec{b} = \vec{u}-\vec{v} = (2+1,\;-5+4,\;-6-1) = (3,\;-1,\;-7).
O produto vetorial \vec{w} = \vec{a}\times\vec{b} é
\vec{w} =\bigl(a_yb_z - a_zb_y,\;a_zb_x - a_xb_z,\;a_xb_y - a_yb_x\bigr) =\bigl((-9)(-7) - (-5)(-1),\;(-5)(3) - 1\cdot(-7),\;1\cdot(-1) - (-9)\cdot3\bigr)
=\bigl(63 - 5,\;-15+7,\;-1+27\bigr) =\bigl(58,\;-8,\;26\bigr).

Passo 4

Os cossenos diretores de \vec{w}=(w_x,w_y,w_z) são dados por
\cos\alpha = \frac{w_x}{\|\vec{w}\|},\quad \cos\beta = \frac{w_y}{\|\vec{w}\|},\quad \cos\gamma = \frac{w_z}{\|\vec{w}\|},
onde
\|\vec{w}\| = \sqrt{58^2 + (-8)^2 + 26^2} = \sqrt{3364 + 64 + 676} = \sqrt{4104} = 6\sqrt{114}.
Portanto
\cos\alpha = \frac{58}{6\sqrt{114}} =\frac{29}{3\sqrt{114}},\quad \cos\beta = \frac{-8}{6\sqrt{114}} =-\frac{4}{3\sqrt{114}},\quad \cos\gamma = \frac{26}{6\sqrt{114}} =\frac{13}{3\sqrt{114}}.

Resposta

(a) \vec{u}\times\vec{v}=(-29,\,4,\,-13)
(b) \displaystyle \cos\alpha=\frac{29}{3\sqrt{114}},\quad \cos\beta=-\frac{4}{3\sqrt{114}},\quad \cos\gamma=\frac{13}{3\sqrt{114}}.

Exercícios relacionados