Decomponha o vetor \vec{v}=-\vec{i}+2 \vec{j}-3 \vec{k} em dois vetores \vec{a} e \vec{b} tais que \vec{a} / / \vec{w} e \vec{b} \perp \vec{w}, sendo \vec{w}=(2,1,-1).

Passo 1

O enunciado nos pede para escrever o vetor \vec{v}=(-1,2,-3) como soma de dois vetores \vec{a} e \vec{b} tais que \vec{a} seja paralelo a \vec{w}=(2,1,-1) e \vec{b} seja perpendicular a \vec{w}. Para isso vamos usar a ideia de projeção ortogonal:
\vec{a}=\mathrm{proj}_{\vec{w}}\vec{v} \quad\text{e}\quad \vec{b}=\vec{v}-\vec{a}.

Passo 2

Calculemos primeiro o coeficiente de projeção. O produto interno é
\vec{v}\cdot\vec{w}=(-1)\cdot2 + 2\cdot1 +(-3)\cdot(-1) = -2 + 2 + 3 = 3,
e a norma ao quadrado de \vec{w} é
\vec{w}\cdot\vec{w}=2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6.
Então a projeção é
\vec{a} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\;\vec{w} = \frac{3}{6}\,(2,1,-1) = \bigl(1,\tfrac12,-\tfrac12\bigr).

Passo 3

Agora obtemos
\vec{b} = \vec{v}-\vec{a} = (-1,2,-3) - \bigl(1,\tfrac12,-\tfrac12\bigr) = \bigl(-2,\tfrac32,-\tfrac52\bigr).
Para conferir que \vec{b}\perp\vec{w}, calcule
\vec{b}\cdot\vec{w} = (-2)\cdot2 + \tfrac32\cdot1 + \bigl(-\tfrac52\bigr)\cdot(-1) = -4 + 1{,}5 + 2{,}5 = 0,
como desejado.

Resposta

\displaystyle \vec{a} = \bigl(1,\tfrac12,-\tfrac12\bigr),
\displaystyle \vec{b} = \bigl(-2,\tfrac32,-\tfrac52\bigr).

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