Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular a área de um triângulo formado por dois vetores no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Vetorial, e para resolver a gente vai precisar usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) e a fórmula para calcular a área de um paralelogramo, que depois adaptamos para o triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os vetores que formam o triângulo. Temos:
Passo 3
Para encontrar a área do triângulo, a gente começa calculando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores e é um novo vetor perpendicular aos dois, e a magnitude desse vetor nos dá a área do paralelogramo formado por e .
A fórmula do produto vetorial é:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial:
Expandindo a matriz, temos:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
Passo 6
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos vetores e , temos:
Áâ
Resposta
A área do triângulo determinado pelos vetores e é unidades de área.