Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores u = (1, 2, -1) e v = (3, 0, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular a área de um triângulo formado por dois vetores no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Vetorial, e para resolver a gente vai precisar usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) e a fórmula para calcular a área de um paralelogramo, que depois adaptamos para o triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os vetores que formam o triângulo. Temos:

Passo 3

Para encontrar a área do triângulo, a gente começa calculando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores e é um novo vetor perpendicular aos dois, e a magnitude desse vetor nos dá a área do paralelogramo formado por e .
A fórmula do produto vetorial é:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial:
Expandindo a matriz, temos:
Simplificando cada componente:

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:

Passo 6

Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos vetores e , temos:
Áâ

Resposta

A área do triângulo determinado pelos vetores e é unidades de área.

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