Encontre naturais n1, n2 >= 1 tais que
(b) |(-1)^(n+1)|/n^(2) < 1/10000 para n ≥ n2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar números naturais e maiores ou iguais a 1, de forma que para todo que seja maior ou igual a , a expressão seja menor que . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que queremos que seja menor que . Observa que o termo alterna entre -1 e 1 dependendo do valor de . Mas, como estamos lidando com o valor absoluto, isso não muda nada, já que . Então, a inequação fica:

Passo 3

Agora, queremos encontrar tal que . Vamos resolver essa desigualdade para :
Invertemos os dois lados (lembre-se que ao inverter uma inequação com frações positivas, o sentido da desigualdade muda):

Passo 4

Agora, para encontrar , vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados:
Calculando a raiz quadrada:

Passo 5

Como deve ser um número natural maior ou igual a 1, o menor valor de que satisfaz é 101. Portanto, podemos escolher .

Resposta

Os números naturais são e .

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