Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A=(1,2,-1), B=(2,-1,3) e C=(1,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices A=(1,2,-1), B=(2,-1,3) e C=(1,-1,1). O conteúdo é geometria analítica em R^3 usando produto vetorial:
a área do triângulo é
área = 12 l|ABtimes ACr| á
Para isso, vamos calcular os vetores AB e AC, depois o produto vetorial e sua norma.

Passo 2

Calculamos os vetores lados:
AB = B - A = (2-1,;-1-2,;3-(-1)) = (1,-3,4),
AC = C - A = (1-1,;-1-2,;1-(-1)) = (0,-3,2)

Passo 3

O produto vetorial em R^3 é dado pelo determinante:
ABtimes AC = det i & j & k 1 & -3 & 4 0 & -3 & 2 = (6,,-2,,-3)

Passo 4

Agora, encontramos a norma do vetor (6,-2,-3):
l|ABtimes ACr| = raiz6^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz36 + 4 + 9 = raiz49 = 7

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da área:
área = 12 cdot 7 = 72 á

Resposta

72

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