Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
f: ackslash mathbbR^3 ightarrow ackslash mathbbR^3, f( extx, exty, extz)=( extx,-2 extx- exty, 2 extx+ exty+2 extz)

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
fcolon R^3 to R^3, f(x,y,z) = (,x,,-2x - y,;2x + y + 2z,)
e pede os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) de f. Para isso, vamos seguir estes passos: representar f por uma matriz A na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I), encontrar suas raízes lambda e para cada lambda resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

A matriz de f na base canônica é
A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 2
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 & 0 -2 & -1-lambda & 0 2 & 1 & 2-lambda = (1-lambda)det-1-lambda & 01 & 2-lambda
Como a submatriz é triangular,
det-1-lambda & 01 & 2-lambda = (-1-lambda)(2-lambda)
Logo
det(A-lambda I) = (1-lambda),( -1-lambda),(2-lambda)

Passo 3

As raízes do polinômio característico são as soluções de
(1-lambda)(-1-lambda)(2-lambda)=0,
logo
lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 2

Passo 4

Para resolvemos
As equações dão
Logo o autovetor geral é

Passo 5

Para resolvemos
Da primeira linha vem . Da terceira linha .
Então

Passo 6

Para resolvemos
Da primeira linha . Da segunda . A terceira não impõe restrição sobre .
Logo

Resposta

Os valores próprios e seus autovetores (até constantes não nulas) são:
lambda1 = 1, com vetor próprio v1 = (1,-1,-1).
lambda2 = -1, com vetor próprio v2 = (0,-3,1).
lambda3 = 2, com vetor próprio v3 = (0,0,1).

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