Determine um vetor que seja ortogonal a u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2) simultaneamente e que tenha ordenada igual a 2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores u = (1, -1, -4) e v = (3, 2, -2) ao mesmo tempo. Além disso, esse vetor precisa ter a coordenada y igual a 2. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou produto interno) que, quando igual a zero, indica que os vetores são perpendiculares (ou ortogonais).

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor que estamos procurando de w = (x, 2, z). Sabemos que a coordenada y é 2, então já temos essa parte definida. Agora, precisamos garantir que w seja ortogonal a u e v. Para isso, o produto escalar de w com cada um desses vetores deve ser zero.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de w com u:
w cdot u = x cdot 1 + 2 cdot (-1) + z cdot (-4) = x - 2 - 4z = 0
Isso nos dá a primeira equação:
x - 2 - 4z = 0 (1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de w com v:
w cdot v = x cdot 3 + 2 cdot 2 + z cdot (-2) = 3x + 4 - 2z = 0
Isso nos dá a segunda equação:
3x + 4 - 2z = 0 (2)

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
x - 2 - 4z = 0 3x + 4 - 2z = 0
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação (1), podemos isolar o x:
x = 2 + 4z (3)

Passo 6

Agora, substituímos a expressão de x da equação (3) na equação (2):
3(2 + 4z) + 4 - 2z = 0
6 + 12z + 4 - 2z = 0
10z + 10 = 0
10z = -10
z = -1

Passo 7

Com o valor de z encontrado, voltamos à equação (3) para encontrar x:
x = 2 + 4(-1) = 2 - 4 = -2

Resposta

O vetor que satisfaz todas as condições é w = (-2, , 2, , -1).

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