Determine um vetor que seja ortogonal a e simultaneamente e que tenha ordenada igual a 2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e ao mesmo tempo. Além disso, esse vetor precisa ter a coordenada y igual a 2. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou produto interno) que, quando igual a zero, indica que os vetores são perpendiculares (ou ortogonais).
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor que estamos procurando de . Sabemos que a coordenada y é 2, então já temos essa parte definida. Agora, precisamos garantir que seja ortogonal a e . Para isso, o produto escalar de com cada um desses vetores deve ser zero.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de com :
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar de com :
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação (1), podemos isolar o x:
x = 2 + 4z (3)
Passo 6
Agora, substituímos a expressão de x da equação (3) na equação (2):
3(2 + 4z) + 4 - 2z = 0
6 + 12z + 4 - 2z = 0
10z + 10 = 0
10z = -10
z = -1
Passo 7
Com o valor de z encontrado, voltamos à equação (3) para encontrar x:
x = 2 + 4(-1) = 2 - 4 = -2
Resposta
O vetor que satisfaz todas as condições é w = (-2, , 2, , -1).