Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
f: ackslash mathbbR^3 ightarrow ackslash mathbbR^3, f( extx, exty, extz)=( extx+ exty+ extz, 2 exty+ extz, 2 exty+3 extz)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores (ou valores próprios) e os autovetores (ou vetores próprios) da transformação linear
fcolon R^3toR^3, f(x,y,z)=(x+y+z,;2y+z,;2y+3z)
O procedimento é: ( 1) montar a matriz A de f na base canônica, ( 2) calcular o polinômio característico det(A-lambda I), ( 3) encontrar suas raízes lambda e por fim ( 4) determinar para cada lambda o espaço nulo de A-lambda I, que são os autovetores.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz A de f na base e1,e2,e3. Como
f(x,y,z) = 1cdot x + 1cdot y + 1cdot z [6pt] 0cdot x + 2cdot y + 1cdot z [6pt] 0cdot x + 2cdot y + 3cdot z ,
temos
A = 1 & 1 & 1 [4pt] 0 & 2 & 1 [4pt] 0 & 2 & 3
O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det! 1-lambda & 1 & 1 [3pt] 0 & 2-lambda & 1 [3pt] 0 & 2 & 3-lambda
Como só a primeira linha tem elemento não nulo na primeira coluna, extraímos (1-lambda) e calculamos o determinante 2times 2 que sobra:
det(A-lambda I) = (1-lambda),det2-lambda & 1 [3pt]2 & 3-lambda ]

Passo 3

Expandindo o menor de ordem 2:
det2-lambda & 1 [3pt]2 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2cdot 1 = 6 -5lambda +lambda^2 -2 = lambda^2 -5lambda +4
Assim
det(A-lambda I) = (1-lambda)l(lambda^2 -5lambda +4r) = (1-lambda),(lambda-1),(lambda-4) = -( lambda-1)^2(lambda-4)
As raízes são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=4.
]

Passo 4

Agora achamos o espaço próprio para , ou seja, resolvemos
As três equações são equivalentes a
logo e fica livre. Podemos escrever
Portanto a multiplicidade geométrica é , com autovetores independentes
e .
]

Passo 5

Para resolvemos
Da segunda linha segue . Da primeira linha vem
Então todo autovetor é da forma
A multiplicidade geométrica é , com autovetor gerador .
]

Resposta

Os autovalores são
lambda1 = 1 (multiplicidade 2) e lambda2 = 4.
Os autovetores correspondentes são:
Para lambda=1: vetores da forma
(x,y,z) = x,(1,0,0) + z,(0,-1,1)
Para lambda=4: vetores da forma
(y,y,2y) = y,(1,1,2)

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