Encontre as equações vetorial e paramétricas da reta em cada um dos itens a seguir.
A reta que passa pelo ponto P=(2,-1,0) e tem a direção do vetor v=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta em \mathbb{R}^3 que passa por P=(2,-1,0) e tem direção dada por v=(1,1,1). O conteúdo envolvido é a representação de retas no espaço nas formas vetorial e paramétrica.

Passo 2

Para obter a equação vetorial usamos a fórmula
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
onde \mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta e \mathbf{v} é o vetor direção. Substituindo \mathbf{r}_0=(2,-1,0) e \mathbf{v}=(1,1,1), vem
\mathbf{r}(t) = (2,-1,0) + t\,(1,1,1).

Passo 3

Para a equação paramétrica, escrevemos cada componente de \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)):
\begin{cases} x(t) = 2 + t,\\\ y(t) = -1 + t,\\\ z(t) = 0 + t = t. \end{cases}

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = (2,-1,0) + t\,(1,1,1).
Equação paramétrica:
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = -1 + t,\\\ z = t. \end{cases}

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