Determine a projeção ortogonal de u=2 i-j+4 k sobre u=j+12 k.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor
u=2,i-j+4,k
sobre o vetor
v=j+tfrac12,k.
O conteúdo é “projeção de um vetor sobre outro” e vamos usar a fórmula
projv(u) =ucdotvvcdotv;v

Passo 2

Calcular o produto escalar ucdotv.
ucdotv =(2,,-1,,4)cdot(0,,1,,tfrac12) =2cdot0+(-1)cdot1+4cdottfrac12 =-1+2=1

Passo 3

Calcular o produto escalar vcdotv.
vcdotv =(0,,1,,tfrac12)cdot(0,,1,,tfrac12) =0^2+1^2+(tfrac12)^2 =1+tfrac14 =tfrac54

Passo 4

Substituir na fórmula da projeção:
projv(u) =ucdotvvcdotv;v =1tfrac54l(j+tfrac12,kr) =45l(j+tfrac12,kr)

Passo 5

Distribuindo o escalar tfrac45 em j+tfrac12,k:
projv(u) =45,j+45cdottfrac12,k =45,j+25,k

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é
45,j+25,k

Exercícios relacionados