Calcule a área do triângulo triang<= A B C sabendo que os pontos A, B e C são dados por:
A=(3,1,0), B=(1,1,3), C=(-1,4,1)

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(3,1,0), B=(1,1,3) e C=(-1,4,1) no espaço tridimensional, e pede a área do triângulo triang<= ABC. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar que a área de um triângulo é metade da norma do produto vetorial dos vetores formados por dois de seus lados.

Passo 2

Formamos os vetores AB e AC subtraindo coordenadas de A:
AB = B - A = (1-3,;1-1,;3-0) = (-2,,0,,3),
AC = C - A = (-1-3,;4-1,;1-0) = (-4,,3,,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ABtimesAC pelo determinante:
ABtimesAC = i & j & k -2 & 0 & 3 -4 & 3 & 1 = l(0cdot1 - 3cdot3,;-(-2cdot1 - 3cdot(-4)),;-2cdot3 - 0cdot(-4)r) = (-9,,-10,,-6)

Passo 4

A norma de ABtimesAC é
l|ABtimesACr| = raiz(-9)^2 + (-10)^2 + (-6)^2 = raiz81 + 100 + 36 = raiz217

Passo 5

Como a área do triângulo é metade da norma do produto vetorial, temos
Área(triang<= ABC) = 12,l|ABtimesACr| = raiz2172 Á

Resposta

raiz2172

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