Calcule a área do triângulo triang<= A B C sabendo que os pontos A, B e C são dados por:
A=(1,1,-4), B=(0,2,1), C=(2,0,2)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são
A=(1,1,-4), B=(0,2,1) e C=(2,0,2).
Aqui a ideia é usar o produto vetorial no espaço e a fórmula
Área do triângulo = tfrac12|utimesv| Áâ
para dois vetores u e v que representem lados do triângulo.

Passo 2

Vamos tomar como lados os vetores
AB = B - A e AC = C - A
Calculando coordenada a coordenada:
AB = (0-1,;2-1,;1-(-4)) = (-1,,1,,5),
AC = (2-1,;0-1,;2-(-4)) = (1,,-1,,6)

Passo 3

Agora o produto vetorial
ABtimesAC é dado pelo determinante
i & j & k -1 & 1 & 5 1 & -1 & 6 = (1cdot6 - 5cdot(-1)),i -((-1)cdot6 - 5cdot1),j +((-1)cdot(-1) - 1cdot1),k
Isso dá
(6+5),i ;-;(-6-5),j ;+;(1-1),k = 11,i + 11,j + 0,k Longrightarrow (11,,11,,0)

Passo 4

A norma desse vetor é
|(11,,11,,0)| = raiz11^2 + 11^2 + 0^2 = raiz242 = 11raiz2
Então a área do triângulo é
Área = tfrac12 times 11raiz2 = 11raiz22 Á

Resposta

11raiz22

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