Calcule o produto vetorial W=U times V e verifique se W é ortogonal a U e a V :
U=(-1,2,1) e V=(5,-2,5)

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3,
U=(-1,2,1) e V=(5,-2,5),
e pede para calcular o produto vetorial
W=UtimesV
e verificar se W é ortogonal a U e a V.
O conteúdo envolvido é definição de produto vetorial e critério de ortogonalidade (produto escalar zero).

Passo 2

O produto vetorial de
U=(U1,U2,U3) e V=(V1,V2,V3)
pode ser expresso pelo determinante
UtimesV = i & j & k U1 & U2 & U3 V1 & V2 & V3 ,
que resulta nas componentes
(UtimesV)1 =U2V3 - U3V2, (UtimesV)2 =-(U1V3 - U3V1), (UtimesV)3 =U1V2 - U2V1

Passo 3

Substituindo U1=-1, U2=2, U3=1 e V1=5, V2=-2, V3=5, temos
(UtimesV)1 = 2cdot5 - 1cdot(-2) = 10 + 2 = 12,
(UtimesV)2 = -l((-1)cdot5 - 1cdot5r) = -(-5 - 5) = 10,
(UtimesV)3 = (-1)cdot(-2) - 2cdot5 = 2 - 10 = -8
Logo
W = UtimesV = (12,,10,,-8)

Passo 4

Para verificar ortogonalidade, calculamos o produto escalar de W com cada vetor:
UcdotW =(-1)cdot12 + 2cdot10 + 1cdot(-8) = -12 + 20 - 8 = 0,
VcdotW =5cdot12 + (-2)cdot10 + 5cdot(-8) = 60 - 20 - 40 = 0
Como ambos os produtos escalares são zero, W é ortogonal a U e a V.

Resposta

W=(12,,10,,-8), e de fato W é ortogonal a U e a V.

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